Оператор, сопряженный компактному оператору, компактен ([1], стр.241)

5.         Оператор, сопряженный компактному оператору, компактен ([1], стр.241).

Примеры некомпактного и компактных операторов

Пусть  – единичный оператор в банаховом пространстве . Покажем, что если  бесконечномерно, то оператор  не вполне непрерывен. Для этого достаточно показать, что единичный шар в  (который переводится оператором  в себя) не компактен. Это в свою очередь вытекает из следующей леммы.

Лемма: Пусть – линейно независимые векторы в нормированном пространстве  и пусть  – подпространство порожденное векторами . Тогда существует последовательность векторов , удовлетворяющая следующим условиям:

1)

2)

3)

 – расстояние вектора  от , т.е.

Пользуясь этой леммой, в единичном шаре всякого бесконечномерного нормированного пространства можно построить последовательность векторов , для которой . Ясно, что такая последовательность не может содержать никакой сходящейся подпоследовательности. А это и означает отсутствие компактности.

1.Простейшим примером компактного оператора является одномерный линейный оператор вида: , где  – фиксированный элемент из пространства , а  – фиксированный линейный функционал из пространства , которое является банаховым пространством.

2.Рассмотрим в пространстве  оператор , преобразующий  в себя и задаваемый бесконечной системой равенств  при условии, что двойной ряд  сходится. Такой оператор линеен и норма . Докажем что он компактен. Введем матричные линейные операторы  в пространстве , определяемые матрицами , следующим образом:

, где  при , и  при .

Иными словами, матрица  получается из матрицы , если элементы всех строк , начиная с , заменить нулями. Отсюда вытекает, что, если , то, каков бы ни был элемент , будет  при . Следовательно, совокупность значений каждого из операторов  конечномерна, а потому операторы  вполне непрерывны. Представим разность  с помощью матрицы. Из оценки  видно, что .

Следовательно, оператор  компактен. ([2], стр. 307).

3. В пространстве непрерывных функций  важный класс компактных операторов образуют операторы вида:

 (3), где функция  непрерывна на квадрате .

Покажем справедливость следующего утверждения: если функция  непрерывна на квадрате , то формула (3) определяет в пространстве  компактный оператор.

Действительно, в указанных условиях интеграл (3) существует для любого  из , то есть функция  определена. Пусть . На квадрате  функция равномерно непрерывна по теореме Кантора, т.к. она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в . Значит,

   .

Оценим разность :

, при .

Полученное равенство показывает, что функция  непрерывна, то есть формула (3) действительно определяет оператор, переводящий пространство  в себя.

Из этого же неравенства видно, что если  – ограниченное множество в , то соответствующее множество равностепенно непрерывно. Таким образом, если выполняется неравенство , то ,

То есть ограниченное множество перейдет в равномерно ограниченное. Таким образом, оператор (3) переводит всякое ограниченное множество из  в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е. предкомпактное по теореме Арцела.

4. Оператор Вольтерра

Рассмотрим оператор , где , в .

Для доказательства компактности оператора Вольтерра покажем, что множество , равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.

1)         Равномерная ограниченность.

Оценим

,

а это значит, что множество равномерно ограниченно.

2)         Равностепенная непрерывность.

По определению, равностепенная непрерывность означает, что

. Возьмем произвольную функцию . Найдем ее образ . Тогда .

Тогда, если положить , равностепенная непрерывность показана.

Таким образом, компактность оператора Вольтерра доказана.

Литература

1.         Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ­­– М.: Физматлит, 2004.

2.         Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. ­­–Изд. 2, перераб. и доп. – М., 1967.

3.         Князев, П.Н. Функциональный анализ [Текст] / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 2003.

4.         Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1951.

Похожие работы

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Скачать

36187

0

5

... состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при  существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет. Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны ...

Уравнения математической физики

Скачать

48279

5

0

... : µ§. Шары такие : µ§ и µ§, причем: µ§ , µ§. µ§ µ§ Если µ§ ,то: µ§ , µ§ µ§ µ§ µ§ µ§ Теорема доказана. Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. µ§ µ§ (1) µ§ µ§ (2) µ§ - это не гарантирует существование решения. µ§ Теорема. Задача (1) (2) может иметь не более одного ...

* Алгебры и их применение

Скачать

65703

0

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...

*-Алгебры и их применение

Скачать

69018

1

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...