Навигация
1.4 Компактные множества
Определение: Множество 
в метрическом пространстве 
называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности 
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу 
.
Определение: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно), если его замыкание в компактно.
Определение: Множество 
называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке 
, то есть существует такая постоянная 
, такая, что для любого 
выполняется неравенство 
В курсе теории метрических пространств доказывалось, что любое компактное множество является ограниченным. Докажем, что любое относительно компактное множество также является ограниченным.
Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным.
Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но 
, а подмножество ограниченного множества также ограничено.
В конечномерном пространстве 
выполняется также обратное утверждение.
Теорема: В конечномерном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.
Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства : в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Можно доказать также более общую теорему.
Теорема: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.
Доказательство:
Пусть – ограниченное подмножество n–мерного пространства , т. е. существует такая константа 
, что 
для всех . Каждому сопоставляем вектор 
, координаты которого 
равны соответствующим координатам в разложении элемента 
по некоторому фиксированному базису. Тогда справедливо следующее неравенство: 
(1), где 
– наименьшее значение 
на единичном шаре 
, 
. Возьмем любую последовательность 
. По неравенству
(1) соответствующие этим элементам векторы 
образуют ограниченное множество, а в ограниченные множества относительно компактны, следовательно, из последовательности 
, можно выделить частичную 
, сходящуюся к некоторому пределу.
Сходимость в есть сходимость по координатам, следовательно, и последовательность 
сходится по координатам. Но тогда эта последовательность сходится к некоторому пределу и по норме (в силу непрерывности суммы и произведения в нормированных пространствах). Тем самым относительная компактность доказана.
Определение: Семейство 
функций называется равностепенно непрерывным, если для любого 
найдется такое 
, что 
, для любой функции 
, для любых 
, таких, что 
.
Определение: Семейство 
функций 
, определенных на некотором отрезке, называется равномерно ограниченным, если существует такое число 
, что 
, для любого 
Теорема Арцела: Для того чтобы семейство непрерывных функций, определенных на отрезке 
, было предкомпактно в 
, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Теорема: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество.
Докажем аналогичную теорему для относительно компактных множеств.
Теорема: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество.
Доказательство. Пусть 
– непрерывное отображение, 
– относительно компактное множество. Рассмотрим последовательность точек из множества 
: 
, 
. Так как множество относительно компактно, то существует подпоследовательность 
. Так как отображение – непрерывное, то 
. Значит, для множества выполнено условие относительной компактности.
Примеры компактных и некомпактных множеств
1. В пространстве 
всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством).
2. В пространстве шар с центром в 
и радиусом 
, то есть множество точек 
, таких, что 
, является компактным. (Аналогично по доказанной теореме).
3. В пространстве множество 
будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение).
4. В пространстве 
рассмотрим множество элементов 
, 
, … (у последовательности 
единица стоит на 
–м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности 
не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку 
при
. Множество некомпактно.
Похожие работы
Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
... состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет. Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны ...
... : µ§. Шары такие : µ§ и µ§, причем: µ§ , µ§. µ§ µ§ Если µ§ ,то: µ§ , µ§ µ§ µ§ µ§ µ§ Теорема доказана. Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. µ§ µ§ (1) µ§ µ§ (2) µ§ - это не гарантирует существование решения. µ§ Теорема. Задача (1) (2) может иметь не более одного ...
... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...
... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...
0 комментариев