ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

2. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность. Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность.

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

 

2.1. Основные формулы

Средняя ошибка выборки при собственно случайном методе отбора ():

а) повторный отбор:

(2.1)

б) бесповторный отбор:

(2.2)

где n – численность выборочной совокупности;

N – численность генеральной совокупности;

s² – дисперсия средней или доли;

 процент выборки.

Дисперсия средней  находится с использованием формул, указанных в п. 5.

Дисперсия выборочной доли:

(2.3)

где  - доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности;

m – единицы выборочной совокупности, обладающие данным признаком.

Предельная ошибка выборки ( D ):

(2.4)

где t – коэффициент кратности (доверия).

Доверительные интервалы:

а) для средней:				(2.5)
б) для доли:			(2.6)

Объем выборки при повторном отборе:

а) для средней			(2.7)
б) для доли:			(2.8)

Объем выборки при бесповторном отборе:

а) для средней				(2.9)
б) для доли:			(2.10)

 

2.2. Решение типовых задач

Задача № 2.1

 

В целях изучения затрат времени на изготовление детали рабочими завода проведена 10% случайная бесповторная выборка в результате которой получено данное распределение деталей по затратам времени, представлено в следующей таблице:

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число деталей, шт.	Расчетные значения
		Середина интервала (X)
до 10	10	9	90	136,9
до 12	20	11	220	57,8
12 – 14	50	13	650	4,5
14 – 16	15	15	225	79,35
16 и более	5	17	85	92,45
Итого	100	-	1270	371

На основе этих данных вычислить:

1. С вероятностью 0.954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

2. С вероятностью 0.954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 14 мин.

Решение:

 

1. Определяем средние затраты времени на изготовление 1 детали для выборочной совокупности по формуле средней арифметической взвешенной:

Рассчитываем дисперсию для выборочной совокупности по формуле средневзвешенной для сгруппированных данных:

Так как выборка по условию задачи равна 10%, а n равно 100 шт., то N равно 1000 шт.Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

Так вероятность равна 0,954, то коэффициент доверия t равен 2. Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

Доверительные интервалы (пределы) средней рассчитываем, исходя из двойного неравенства:

;

;

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе лежат в границах от 12, 34 мин. до 13, 06 мин.

2. Определяем по выборочной совокупности долю деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 14 минут по формуле:

Тогда дисперсия выборочной доли равна:

Средняя ошибка выборки определяется по аналогичной формуле, что и для выборочной средней и равна:

Предельная ошибка выборки для доли и доверительные интервалы определяется по формула:

 .

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля деталей, изготовленных с затратами времени от 10 до 14 минут составляет от 61,3% до 78,9% в общем числе деталей.

Задача № 2.2

 

Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 3 года.

Определить количество студентов, которое нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года.

Решение:

 

Так как обследование проведено методом бесповторного отбора для определения среднего возраста студентов, то необходимый объем выборки рассчитывается по формуле:

Таким образом, выборка численностью 43 человека обеспечивает заданную точность при бесповторном отборе.

2.3. Контрольные задачи

Задача № 2.1

 

В целях контроля за соблюдением норм расхода сырья проведено выборочное обследование партии готовой продукции. При механическом (бесповторном) способе отбора 5% изделий получены определенные данные о весе обследованных единиц, представленные в следующей таблице:

Вес изделий, г.	Число образцов, шт.
до 100	22
100– 110	76
110 – 120	215
120 – 130	69
130 и свыше	18
Итого	400

На основании выборочных данных вычислить:

1. По «способу моментов»:

а) средний вес изделия;

б) дисперсию.

2. Cреднее квадратическое отклонение.

3. Коэффициент вариации.

4. С вероятностью 0.997 возможные границы, в которых заключен средний вес изделий во всей партии.

5. С вероятностью 0.954 возможные границы удельного веса (доли) стандартной продукции во всей партии при условии, что к стандартной продукции относятся все изделия с весом от 100 г до 130 г.

Задача № 2.2

 

Для изучения возрастной структуры рабочих завода по состоянию на 1 июля было проведено 3% выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора. Результаты обследования распределения рабочих по возрасту представлены в следующей таблице:

Группы рабочих по возрасту, лет.	Число рабочих, чел.
до 20	10
20 – 30	18
30 – 40	40
40 –50	24
50 и старше	8
Итого	100

На основании данных выборочного обследования вычислите:

1. По «способу моментов»:

а) средний возраст рабочего;

б) дисперсию.

2. Среднее квадратическое отклонение.

3. Коэффициент вариации.

4. С вероятностью 0.997 возможные границы среднего возраста рабочих завода.

5. С вероятностью 0.954 возможные границы доли рабочих завода, возраст которых составляет менее 20 лет.

Задача № 2.3

 

При изучении производительности труда работников торговли произведено 10% -ое выборочное обследование выполнения норм выработки кассирами магазинов. В результате механического отбора получены следующие данные о распределении выборочной совокупности по выполнению норм выработки, представленные в таблице:

Выполнение норм выработки, %	Число кассиров, чел.
до 90	3
90 – 100	7
100 – 110	30
110 – 120	25
120 – 130	17
130 – 140	9
140 – 150	6
150 и выше	3
Итого	100

По данным выборки определить для генеральной совокупности:

1. С вероятностью 0.954 пределы значения доли кассиров, выполняющих норму выработки.

2. С вероятностью 0.997 пределы, в которых находится средний процент выполнения кассирами норм выработки.

Задача № 2.4

 

На электроламповом заводе в порядке 5% механической выборки проверено 2000 лампочек, из которых 20 забраковано. Определить с вероятностью 0,997, в каких пределах колеблется процент бракованных лампочек.

Задача № 2.5

В порядке механической 5%-ой выборки было подвергнуто испытанию на разрыв 1000 нитей из партии. Установлено, что средняя крепость пряжи равняется 340 г при среднем квадратическом отклонении 20 г. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя крепость пряжи в партии.

Задача № 2.6

 

В городе Н с числом семей 15000 предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей с детьми ясельного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,3.

2.4. Контрольные вопросы

1. Преимущества выборочного наблюдения перед сплошным.

2. Дать определение понятий: ошибка наблюдения, ошибка регистрации, ошибка репрезентативности, максимально возможная ошибка.

3. Условия правильного отбора единиц совокупности при выборочном наблюдении.

4. Генеральная и выборочная совокупности.

5. Различия между повторной и бесповторной выборками.

6. Формулы взаимосвязи средней и предельной ошибки выборки.

7. Формулы расчета средней ошибки при повторном и бесповторном отборе.

8. Неравенства, устанавливающие возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.

9. Формулы для расчета необходимого объема выборки.

10. Сущность теорем П.Л. Чебышева и А.М. Ляпунова.

11. Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность.

2.5. Тесты

1. Совокупность, из которой производится отбор единиц для выборочного наблюдения называется:

а) выборочной;

б) генеральной;

в) однородной;

г) свой ответ.

2. Виды ошибок статистических наблюдений:

а) регистрации;

б) систематические;

в) случайные;

г) репрезентативности;

д) все ответы верны.

3. По методу отбора различают:

а) бесповторный отбор;

б) случайный отбор;

в) повторный отбор;

г) все ответы верны.

4. Если количество единиц в совокупности меньше 30, то выборка считается:

а) большой;

б) малой;

в) средней;

г) нет верного ответа.

5. Виды выборок:

а) случайная;

б) типическая;

в) механическая;

г) групповая.

6. При 6%-ой выборке из партии деталей в 600 ед. объем выборки n составляет:

а) 54 ед;

б) 36 ед;

в) 46 ед.

7. Для характеристики надежности выборочных показателей различают следующие виды ошибок выборки:

а) среднюю;

б) случайную;

в) предельную;

г) репрезентативности.

8. Размер средней ошибки выборки зависит от:

а) объема выборки;

б) однородности совокупности;

в) ассиметрии;

г) степени варьирования изучаемого признака.

9. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем величина средней ошибки выборки:

а) больше;

б) меньше;

в) точнее

 г) свой ответ.

10. Чем больше вариация признака, тем ______ средняя ошибка выборки:

а) больше;

б) меньше;

в) точнее;

г) свой ответ.

11. Средняя ошибка выборки показывает __________.

12. Средняя ошибка выборки имеет единицы измерения:

а) что и количественный признак;

б) не имеет единиц измерения;

в) представлена коэффициентом;

г) в процентах.

13. Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется:

а) типическая выборка;

б) механическая выборка;

в) собственно-случайная выборка;

г) серийная выборка.

14. Отбор единиц из генеральной совокупности посредством жеребьевки или какого-либо иного подобного способа – это:

а) типическая выборка;

б) механическая выборка;

в) собственно-случайная выборка;

г) серийная выборка.

15. Доверительные интервалы (пределы) для средней ___________.

16. Для скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дня со стандартным отклонением 6 дней.

Определить с вероятностью p равной 0,954 предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.

а) 1,2 дня; ;

б) 2,2 дня; ;

в) 3 дня; .