Разностное представление систем дифференциальных уравнений

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями

можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ():

,

погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h.

Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.

При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :

 .

Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:

Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора  как

,

обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений  и

Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , ,  и матрица  в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором  с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

.

Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:

Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции  необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

Заменив конечно-разностные операторы  (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига  и вспомнив, что , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

.

Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине  и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2 для формул погрешности.

Трех точечная аппроксимация первой производной

Четырех точечная аппроксимация первой производной

Пятиточечная аппроксимация первой производной

Шести точечная аппроксимация первой производной

Семи точечная аппроксимация первой производной

Трех точечная аппроксимация второй производной

Четырех точечная аппроксимация второй производной

Пятиточечная аппроксимация второй производной

Шести точечная аппроксимация второй производной

Семи точечная аппроксимация второй производной

Например, производная первого порядка  в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.

Похожие работы

Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Скачать

74851

18

9

... схема со сглаживанием, схема прямоугольник со сглаживанием, “шахматная ” схема. Произведены некоторые расчеты для одномерного уравнения переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках, с целью определения наиболее устойчивой разностной схемы. Исследование показало, что наиболее устойчивым методом для одномерного уравнения переноса с переменными коэффициентами является ...

Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

Скачать

20167

4

9

... . Результаты моделирования можно просматривать на экране монитора и распечатывать на принтере. В данном расчетно-графическом задании виртуальная гибридная вычислительная машина будет использована в качестве вычислительного инструмента для решения краевых задач методами математического и аналогового моделирования, с целью демонстрации возможностей аналоговых устройств для исследования физических ...

К решению нелинейных вариационных задач

Скачать

57698

75

8

... ^у^е^о ^ с^-^. Итак решение по Ритцу: ^-i-^ Сравнительная таблица имеет вид: Л. 0 0,5 1 1,5 2 у^ 0 -0,275 -0,3571 -0,2758 0 ^г) о -0,2126 -0,3520 -0,3258 0 50 3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариа­ционной задаче зададим в виде: r-^^f^-^^ При этом граничные условия и{а ) = ...

Некоторые дополнительные вычислительные методы

Скачать

39796

9

22

... суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения Dy:  где Метод четвертого порядка для q = 3, имеет вид  где Особо широко известно другое вычислительное правило Рунге-Кутта четвертого порядка точности:  где Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ h4 ). Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то погрешность можно приближенно ...