Краевые задачи для уравнений второго порядка

4. Краевые задачи для уравнений второго порядка

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n+1)-й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.

Похожие работы

Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Скачать

74851

18

9

... схема со сглаживанием, схема прямоугольник со сглаживанием, “шахматная ” схема. Произведены некоторые расчеты для одномерного уравнения переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках, с целью определения наиболее устойчивой разностной схемы. Исследование показало, что наиболее устойчивым методом для одномерного уравнения переноса с переменными коэффициентами является ...

Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

Скачать

20167

4

9

... . Результаты моделирования можно просматривать на экране монитора и распечатывать на принтере. В данном расчетно-графическом задании виртуальная гибридная вычислительная машина будет использована в качестве вычислительного инструмента для решения краевых задач методами математического и аналогового моделирования, с целью демонстрации возможностей аналоговых устройств для исследования физических ...

К решению нелинейных вариационных задач

Скачать

57698

75

8

... ^у^е^о ^ с^-^. Итак решение по Ритцу: ^-i-^ Сравнительная таблица имеет вид: Л. 0 0,5 1 1,5 2 у^ 0 -0,275 -0,3571 -0,2758 0 ^г) о -0,2126 -0,3520 -0,3258 0 50 3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариа­ционной задаче зададим в виде: r-^^f^-^^ При этом граничные условия и{а ) = ...

Некоторые дополнительные вычислительные методы

Скачать

39796

9

22

... суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения Dy:  где Метод четвертого порядка для q = 3, имеет вид  где Особо широко известно другое вычислительное правило Рунге-Кутта четвертого порядка точности:  где Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ h4 ). Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то погрешность можно приближенно ...