Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Казанский государственный педагогический университет.

Дипломная работа

«К решению нелинейных вариационных задач».

выполнил студент 151 группы математического факультета

Салахутдинов М.Ш.

Научные руководители:

КФМН, доцент

Сайфуллин Э. Г.

Ст. Преподаватель Хисматуллина Н.Г.

Казань -1999.


ВВЕДЕНИЕ

Дипломная работа в целом посвящена методам решения экстремаль­ных задач. Причем более подробно изложены те классы экстремальных за­дач, которые не изучаются ни в школьном курсе, ни в педвузовском курсе математики. Однако основная идея их решения лежит на основе построе­ния математических моделей экономических задач и их решения.

В первой части дипломной работы рассмотрены простейшие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения, которые решаются элементарным способом - на основе известных неравенств: среднее ариф­метическое не меньше среднего геометрического. В случае равенства сум­ма принимает минимальное значение, а произведение достигает макси­мального. Рассмотрены экстремальные значения квадратного трехчлена, а также решение экстремальных задач с применением производной.

Далее рассматриваются основные понятия о задачах математическо­го программирования: транспортная задача линейного программирования;

задача о рационе; задача об оптимальном использовании сырья; рассмот­рены задачи нелинейного программирования (случай нелинейной целевой функции; случай нелинейной целевой функции и нелинейной системы ограничений).

Во второй части приводятся основные понятия о краевых задачах, примеры аналитического решения краевых задач, приближенный метод решения. Приводится сходящийся алгоритм для линейных краевых задач. На основе этого алгоритма при помощи ЭВМ решены цикл различных краевых задач; численные результаты приведены в приложениях.

Третья часть посвящена'одномерным вариационным задачам и мето­дам их решения.

Преимущество данной работы в методическом плане заключается в том, что вариационная задача, в частном случае, может быть сведена к обычной задаче на отыскание экстремума функции одной переменной, а поэтому позволяет ввести понятие вариационной задачи уже в школьном курсе в классах с углубленным изучением- математики, как новый класс экстремальных задач.

Далее в работе приводится вывод уравнений Эйлера-Лагранжа. На их основе рассмотрены примеры аналитического решения вариационной за­дачи. Получен алгоритм решения линейных вариационных задач на основе метода конечных разностей, которая не решается аналитическими приема­ми. На основе этого алгоритма на ЭВМ решены ряд задач, численные ре­зультаты приведены в приложениях.


Другой метод решения вариационных задач - метод Ритца вводится на простейших примерах, а затем обобщается. Так как оценка точности ме­тода Ритца не является тривиальной задачей, то сравнительный анализ численных результатов весьма актуален.

Решение рассмотренных задач методом Ритца и другими приемами, сравнительный анализ результатов показывает хорошую достоверность этого метода уже в первом приближении.

В заключении приводится одна новая модификация метода Ритца, при помощи которой вариационная задача сводится к достаточно простой задаче отыскания экстремума функции одной переменной. При этом про­цедура нахождения корня нелинейного уравнения выполнима лишь при­ближенными методами. Сравнительный анализ численных результатов по­казывает надежность метода. Основная ценность этой модификации в ре­шении существенно нелинейных задач.

В конце третьей части этой работы приводится идея обобщения рас­смотренных задач на двумерный случай и методом Ритца решается дву­мерная задача.


I. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1. Определение экстремума элементарным способом


Во многих учебных пособиях для 7-х и 8-х классов встречаются не­равенства, связывающие среднее арифметическое и геометрическое:

^ ^

С-г I

где среднее арифметическое больше или равно среднего геометриче­ского, что очевидно:

°^-^^Г-=? а^г 2.1/ЙГ»;> ({&')^({Г)^ г^\1аГ^ {fS-fT)\0

Причем равенство возможно только при ft=6. При помощи этого нера­венства решаются задачи на экстремум:

1) Положительное числоД представить в виде суммы положительных слагаемых х и^-^так, чтобы их произведение х-(/^-х) было наибольшим.

Решение: Найти х?о (/Ьх^при гл-сх-х Е Х (А-У)'3 __ о Пусть о-=Х и &=/4-х. Знаем, что ^^clx (a-5J-w-axV'aS = а——

При 0-^0

т.е. ?< = А-У — Х= ^/^

2) Найти прямоугольник, имеющий данный периметр Р и наиболь­шую площадь. Пусть о. и ^ - стороны прямбугольника, тогда .?= 2-(o-t-e) . Площадь ^а-с' принимает максимальное значение как произведение двух положительных чисел при (Х-^о. Тогда J?=<?fci<-a,)^a=^, искомый прямо­угольник будет квадратом со сторонами а =- -Р/^

3) Положительное число л представить в виде произведения поло­жительных множителей X и С^/у)так, чтобы их сумма была наименьшей.

Речение • /-Ссихт-сх. х ^al<- m-t,n, f х+ ух J . Эше-тб cl^ X,

g= ^узс •, ^и-^ (Cl+^)= 2--SS'.


при <Z=6 ,т.е. при х^ /у. -^ X ^Р ^ ^= ip

Значит ^ — р - t-7 ^ L Х+ ^--1 - ^^ Г -/Р^- ^ J ^. JP7

4) Найти минимальное значение функции t/ = Х + /X , т.е. сум­мы А-^- /^ ( Х 70^)

m-Lrb ( х -/- ^< ^ 2 / Х-^( = ^ или при Л = ^ ^ ^ =^ тогда . /

г^п. (Х^- Ух) =- /^ // -^

5) Найти при УЮ ,CL70,o-70 наименьшее значение дроби


Информация о работе «К решению нелинейных вариационных задач»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 57698
Количество таблиц: 75
Количество изображений: 8

Похожие работы

Скачать
74337
5
31

... необходимости строить локальную сети обмена данными, а достаточно сэмулировать этот процесс. Глава 4. Алгоритмы решения задач устойчивости для подкрепленных пологих оболочек, основанные на распараллеливании процесса вычисления При исследовании устойчивых подкрепленных оболочек с учетом геометрической нелинейности приходится многократно решать системы алгебраических уравнений. Коэффициенты ...

Скачать
24366
0
0

... в руки инженера эффективную вычислительную процедуру решения задачи оптимизации управления, хорошо приспособленную к использованию ЭВМ. Этот метод мы рассмотрим более подробно. 2.4. Метод динамического программирования   2.4.1. Дискретная форма вариационной задачи Преодоление рассмотренных трудностей решения вариационной задачи лежит на путях использования эффективных вычислительных методов ...

Скачать
59893
13
0

... решения останется неизменным, т.е. будет состоять из переменных (Х3,Х6,Х4,Х5).   СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. – Мн.: БГУИР, 1995. 2. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного ...

Скачать
31691
0
25

... задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами. С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об ...

0 комментариев


Наверх