АЛГЕБРА МАТРИЦ

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример.  и  – матрицы одного порядка 2´3;

 и  – матрицы разных порядков, так как 2´3≠3´2.

Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и  = , где  1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

λА = , λR.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть матрица А =, тогда 5А==.

Пусть матрица В =  =  = 5.

Свойства умножения матрицы на число:

 

1) λА = Аλ;

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ  R;

3) (λА) = λА;

4) 0ּА = 0.

 

Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где  =  ±  ( 1, 2, 3, …, m ,

j = 1, 2, 3, …, n.).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример. Найти сумму и разность матриц А и В.

= , = ,

тогда =+==,

=–==.

Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1)   коммутативность А+В=В+А;

2)   ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3)   дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А+В) = λА+λВ;

4)   0+А=А, где 0 – нулевая матрица;

5)   А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;

6)   (А+В)= А+ В.

 

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m. Произведением двух согласованных матриц и

А=, В=

называется матрица С порядка m´k:

=∙, элементы которой вычисляются по формуле:

 (1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

то есть элемент  i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

 

Пример. Найти произведение матриц А и В.

=, =,

∙===.

Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

Пример 1. = , = ;

==;

==.

Очевидно, что  ≠ .

 

Пример 2. = , = ;

= =  =;

= =  = .

 

Вывод: ≠, хотя матрицы  и одного порядка.

2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

Пример.

=, =;

===;

===.

3) A·0 = 0·A = 0.

 

4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

 

Пример.

= , = ;

= ==.

 

5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:

· (·

 

Пример.

Имеем матрицы , , ;

тогда Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Таким образом, мы на примере показали, что Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6) дистрибутивность относительно сложения:

(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.

 

7) (А∙В)= В∙А.

 

Пример.

=, =,

, =.

Тогда АВ=∙==

= (А∙В)= =

В∙А=∙ = ==.

Таким образом, (А∙В)= ВА.

 

8) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λ,R.

Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.

 

Пример 1.

 

, .

 

Решение.

 

1)  + = = =;

2) – ===;

3) произведение  не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.

Пример 2.

=, =.

 

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2´3, а матрица В – порядок 3´1;

2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:

·=·==,

произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и  несогласованны.

 

Пример 3.

=, =.

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 3´2, а матрица В – порядок 2´3;

2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ·=, ·=.

·=·=

 =  = ;

·=·= =

= = в данном случае АВ ≠ ВА.

 

Пример 4.

=, =.

 

Решение.

1) +===,

2) –= ==;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

= ≠, то есть матрицы А и В некоммутирующие.

 

Пример 5.

 

=, =.

 

Решение.

1) +===,

2) –===;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

=  =  АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

 

План

1.      Определители квадратной матрицы и их свойства.

2.      Теоремы Лапласа и аннулирования.

Ключевые понятия

Алгебраическое дополнение элемента определителя.

Минор элемента определителя.

Определитель второго порядка.

Определитель третьего порядка.

Определитель произвольного порядка.

Теорема Лапласа.

Теорема аннулирования.