Навигация
4. Координати вектора
Нехай (
, 
, 
) деякий базис простору 
, 
– довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа 
, 
, 
такі, що
= + + .
Коефіцієнти 
, 
, 
розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число – другою, а число – третьою.
Якщо вектор в даному базисі має координати ,, , то скорочено це записують так: (, , ) або 
.
Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , , і від деякої точки О простору (мал. 16): =
, =
, =
, =
.
Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді = 
+ 
+ 
, де = , = =, = .
Тому = 
;
> 0, якщо 
і < 0, якщо 
;
= 
;
> 0, якщо і < 0, якщо .
Аналогічно, = 
;
> 0, якщо і < 0, .
Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізка 
виміряному в одиницях довжини . Знак же координати залежить від напрямку векторів і : > 0, якщо і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат і .
Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).
Аналогічно визначаються координати вектора в просторі 
. Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів , є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора із підпростору існують єдині числа , такі, що = + . Коефіцієнти , цього розкладу називаються координатами вектора в базисі (,). Число називається першою координатою, а число – другою.
Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (мал. 17):
= + = + .
= ,
> 0, якщо і < 0, якщо ;
= ;
> 0, якщо і < 0, якщо .
Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.
Розглянемо властивості координат векторів.
Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.
Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.
Теорема: справедливі такі твердження:
1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;
2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;
3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.
Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (,,), (, , ), 
(
, 
, 
). Тоді за означенням координат вектора
= + + , = + + .
Отже, + = + + + + + = (+ ) + ( + ) + ( +).
Звідси випливає, що координати вектора + відповідно дорівнюють + +, + , + , що й треба було довести.
Аналогічно доводяться й інші властивості.
Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (, , ), (, , ) задані в деякому базисі (,,), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.
Доведення: якщо = 
, то твердження очевидне. Припустимо, що 
.
1. Необхідність. Нехай || . Тоді існує таке число λ, що = λ, звідки випиває, що = λ, = λ, = λ;
= λ.
Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.
2. Достатність. Нехай = λ, тоді = λ, = λ, = λ. Помноживши ці рівності на вектори , , відповідно, дістанемо = λ, = λ, = λ. Додавши ці рівності дістанемо + + = λ + λ + λ або + + = λ( + + ), тобто = λ
|| . Теорему доведено.
Похожие работы
... особливих властивостей, що відбивають реальну природу інформаційного джерела. У даному розділі мова йтиме про застосування контекстно-контекстно-залежного імовірнісного моделювання в методах ощадливого кодування відеоінформації. У рамках контекстно-контекстно-залежного моделювання специфічні особливості відеоданих є основою для виробітку критеріїв формування факторних векторів і розбивки їхньої ...
... ів у буферний ЗП контролера клавіатури та дисплея. Але під час виконання роботи був знайдений більш ефективний метод для аналізу пульсової хвилі – вейвлет-аналіз, якому і присвячений наступний розділ. 3. СУТНІСТЬ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗУ Вейвлет-перетвореня сигналів є узагальненням спектрального аналізу, типовий представник якого - класичне перетворення Фур'є. Застосовувані для цієї мети базиси ...
... може бути компетентною або некомпетентною в певних питаннях, тобто мати компетентність (компетентності) у певній галузі діяльності. Саме тому, одним із результатів навчання курсу «Застосування ІКТ у навчальному процесі з математики» вбачається формування в майбутніх вчителів відповідних ключових фахових компетентностей. Зазначене вище наштовхнуло на дослідження компетентностей: внаслідок чого ...
... активно досліджуваних областей і серед представників університетської науки. За останні роки було розроблено кілька альтернативних методик виміру ризику в корпораціях, серед них слід зазначити методики, засновані на застосуванні регресійного аналізу. На сьогодні у світі для хеджування валютного ризику нефінансові корпорації найчастіше використовують такий вид валютних деривативів, як форвардні ...
0 комментариев