Непозиционные и позиционные системы счисления
Докажем существование представления любого натурального числа в виде
Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение
Умножение и деление
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ТЕХНИКЕ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ
Способы построения двоичных кодов
Навигация
Непозиционные и позиционные системы счисления
Системы счисления и основы двоичных кодировок
54749
знаков
16
таблиц
10
изображений
1.2 Непозиционные и позиционные системы счисления
Система счисления (Нумерация) - это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.
Путем длительного развития человечество пришло к двум видам систем счисления: позиционной и не позиционной.
1.2.1 Непозиционная система счисления
В самой древней нумерации употреблялся лишь знак "|" для единицы, и каждое натуральное число записывалось повторением символа единицы столько раз, сколько единиц содержится в этом числе. Сложение в такой нумерации сводилось к приписыванию единиц, а вычитание - к их вычеркиванию. Для изображения сколько – нибуть больших чисел этот способ нумерации непригоден из - за своей громоздкости.
При начальном обучении в школе, когда счет ведется в пределах одного - двух десятков, этот способ нумерации успешно применяется (счет на палочках).
В непозиционных системах счисления смысл каждого знака сохраняется и не зависит от его места в записи числа.
К более современным непозиционным системам относят египетскую иероглифическую систему нумерации, в которой имелись определенные знаки для чисел: единица - I, десять - n, сто - ρ и так далее; эти числа называются узловыми. Все остальные натуральные числа, называемые алгоритмическими числами, записываются единообразно при помощи единственной арифметической операции - сложения. Например ,число 243 запишется в виде ρρ nnnn III, 301 - в виде ρρρ I.
К непозиционным системам относят римскую нумерацию. За узловые числа в этой системе принимают числа: единица - I, пять - V, десять - X, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все алгоритмические числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа, например, VI - шесть (5+1= 6), ХС – девяносто(100-10=90), 1704 - МОССIV, 193 -СХСШ, 687 - DCLXXXII.
В римской нумерации заметны следы пятеричной системы счисления, так как в ней имеются специальные знаки для чисел 5, 50 и 500.
При записи чисел использовался не только принцип сложения, но и принцип умножения.
Например, в старо — китайской системе счисления числа 20 и 30 изображались схематически, как 2,10 и 3,10. числа 10, 100, 1000 имели определенные специальные обозначения. Число 528 записывалось так: 5,100,2,10,8.
Наиболее удобными среди непозиционных систем счисления являются алфавитные системы нумерации. Примерами таких систем могут служить ионийская система (Древняя Греция), славянская, еврейская, грузинская и армянская.
Во всех алфавитных системах существенным является обозначение специальными символами - буквами в алфавитном порядке всех чисел от 1 до 9, всех десятков от 10 до 90 и всех сотен от 100 до 900. Чтобы отличать запись чисел от слов над буквами, обозначающими цифры, в греческой и славянской нумерации ставилась черта.
В греческой системе счисления число 543 записывалось: φμγ (φ - 500, μ- 40, γ- 3). В римской системе счисления это число записывается в виде DXLIII, в египетской иероглифической - в виде ρρρρρ nnn III.
Из этого примера видно преимущество алфавитной нумерации, в которой используется цифровой принцип обозначения единиц, десятков, сотен.
В записи больших чисел в алфавитной системе уже виден переход к позиционной системе записи. Например, 32543 записывалось так
Наиболее удобными системами счисления оказались позиционные или поместные системы.
1.2.2 Позиционные системы счисления
Позиционная система счисления - это совокупность определений и правил, позволяющих записывать любое натуральное число с помощью некоторых значков или символов, каждый из которых имеет определенный смысл в зависимости от его места в записи числа (от его позиции). Чаще всего применяют позиционную систему счисления с фиксированным основанием. Основанием системы может быть любое натуральное число ρ, ρ>1
Систематической записью натурального числа N по основанию ρ называют представление этого числа в виде суммы:
N = аnρn+...+а1ρ, + а0
где аn, ..., а1, а0 - числа принимающие значения 0, 1, ..., ρ - 1, причем, аn≠0.
Позиционная система счисления с основанием ρ называется ρ — ичной (двоичной, троичной и так далее). На практике чаще всего применяется десятичная ρ= 10).
Для обозначения чисел 0, 1, ..., ρ - 1 в ρ - ичной системе счисления используют особые знаки, называемые цифрами. Древнеиндийские математики открыли нуль - особый знак, который должен был показать отсутствие единиц определенного разряда.
Для ρ - ичной системы счисления нужно ρ цифр. Если ρ < 10, то применяются те же обозначения цифр, что и в десятичной системе счисления (только берутся цифры, меньше основания системы).
В системах с основанием ρ > 10 для чисел, больших или равных 10, не вводят специальных символов, а используют десятичную запись этих чисел, заключая эту запись в скобки. Например, в четырнадцатеричной системе имеется четырнадцать цифр: 0, 1, 2, 3 ... 9, (10), (11), (12), (13).
В системе счисления с основанием ρ, так же как и в десятичной системе счисления, место, занимаемое цифрой, считая, справа налево, называется разрядом.
Число N= аnρ n+ . . . +a1ρ +а0 содержит а0 единиц первого разряда, а1 единиц второго разряда, а2 единиц третьего разряда и так далее. Единица следующего разряда в ρ раз больше единицы предыдущего разряда.
Позиционные системы счисления удовлетворяют требованию возможности и однозначности записи любого натурального числа.
Теорема. Любое натуральное число N может быть записано в системе с основание ρ и притом единственным образом.
Доказательство:
Похожие работы
... также невысока и обычно составляет около 100 кбайт/с. НКМЛ могут использовать локальные интерфейсы SCSI. Лекция 3. Программное обеспечение ПЭВМ 3.1 Общая характеристика и состав программного обеспечения 3.1.1 Состав и назначение программного обеспечения Процесс взаимодействия человека с компьютером организуется устройством управления в соответствии с той программой, которую пользователь ...
... . В случае выбора пункта «выход», необходимо реализовать завершение работы программы и передачу управления операционной системе DOS. 1.3. Требования техническим и программным средствам Программа выполнена на языке ассемблера 8086 процессора, соответственно ей необходим IBM PC – совместимый компьютер с процессором не ниже 8086, также программа может выполняться на компьютерах с ...
... в широкую практику разработки программ объектно-ориентированного программирования, впитавшего в себя идеи структурного и модульного программирования, структурное программирование стало фактом истории информатики. Билет № 9 Текстовый редактор, назначение и основные функции. Для работы с текстами на компьютере используются программные средства, называемые текстовыми редакторами или текстовыми ...
... можно изобразить отдельно. Формирователь выхода «Равенство кодов» Формирователь выхода «Больше» Формирователь выхода «Меньше». Арифметические устройства Другой класс приборов, используемых в дискретной технике предназначен для выполнения арифметических действий с двоичными числами: сложения, вычитания, умножения, деления. К арифметическим устройствам относятся также схемы, ...
0 комментариев