Непозиционные и позиционные системы счисления
Докажем существование представления любого натурального числа в виде
Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение
Умножение и деление
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ТЕХНИКЕ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ
Способы построения двоичных кодов
Навигация
Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение
Системы счисления и основы двоичных кодировок
54749
знаков
16
таблиц
10
изображений
1.4 Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение
Кроме десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием. В разные исторические периоды многие народы широко использовали различные системы счисления.
Двенадцатеричная система счисления - ее происхождение тоже связано со счетом на пальцах: так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности двенадцать фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от одного до двенадцати. Затем двенадцать принимается за единицу следующего разряда и так далее. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того, чтобы сказать "двенадцать" часто говорят "дюжина". Многие предметы (ножи, вилки, тарелки) очень часто считают именно дюжинами, а не десятками; сервизы бывают, как правило, на двенадцать или шесть персон. Другой пример: двенадцать месяцев в году, двенадцать цифр на циферблате часов.
Восьмеричная система счисления - позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются арабские цифры. Используется всего восемь цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. и вообще в компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
Шестидесятеричная система счисления существовала и возникла в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система, расходятся. Одна из гипотез, состоит в том, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной системой счисления, я второе - десятичной. Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывалось с числом 60. однако это предположение тоже нельзя считать достаточно обоснованным: астрономические познания древних вавилонян были довольно значительны, поэтому следует думать, что погрешность, с которой они определяли продолжительность года, была значительно меньше, чем пять суток.
Пятеричная система счисления была распространена у ряда африканских племен. Связь этой системы со строением человеческой руки - первоначальной "счетной машины" - достаточно очевидна. В Китае принято считать пятками, причем пятки группируются в пары; получается своеобразная система счисления, в которой каждая единица четного порядка в пять, а нечетного - в два раза больше предыдущей. Однако эта система счисления с двойным основанием, отражающая счет с помощью двух рук, довольно сложна. Гораздо чаще используется чистая пятеричная система, то есть позиционная система с основанием пять.
Двадцатеричная система счисления была принята у ацтеков и майя -народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, почти полностью уничтоженную испанскими завоевателями в XVI - XVII вв. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со II в. до нашей эры.
Из пяти перечисленных выше систем счисления, сыгравших, наряду с десятичной, заметную роль в развитии человеческой культуры, все, кроме шестидесятеричной, источники которой не ясны, связаны с тем или иным способом счета по пальцам рук (или и рук, и ног), то есть имеют несомненное "анатомическое" происхождение.
Все позиционные системы с любым натуральным основанием устроены одинаково. В любой позиционной системе счисления основание записывается в виде десяти, поскольку оно есть единица второго разряда. Все натуральные числа, меньше основания, должны быть однозначными и изображаться разными знаками. Поэтому количество цифр, используемых в данной позиционной системе, совпадает с основанием системы.
1.5 Арифметические операции в различных системах счисления
1.5.1 Сложение и вычитание
В системе с основанием я для обозначения нуля и первых ρ-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., ρ - 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.
| + | 0 | 1 | 2 | · | · | · | q-1 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | *** | *** | *** | q-1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | *** | *** | *** | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | *** | *** | *** | 11 |
| *** | *** | *** | *** | *** | *** | *** | *** |
| q-1 | q-1 | 10 | 11 | *** | *** | *** | 1(q-2) |
Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием ρ, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется
последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.
Например,
 | |||
 | |||
Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде
Разберем один из примеров:
3547=3*72+5*71+4*70
2637=2*72+6*71+3*70
Имеем:
(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =
=(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)
=5*72+1*72+4*7+7
=6*72+4*7+7
=6*72+5*7+0
=6507
Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.
Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.
Например,
Похожие работы
... также невысока и обычно составляет около 100 кбайт/с. НКМЛ могут использовать локальные интерфейсы SCSI. Лекция 3. Программное обеспечение ПЭВМ 3.1 Общая характеристика и состав программного обеспечения 3.1.1 Состав и назначение программного обеспечения Процесс взаимодействия человека с компьютером организуется устройством управления в соответствии с той программой, которую пользователь ...
... . В случае выбора пункта «выход», необходимо реализовать завершение работы программы и передачу управления операционной системе DOS. 1.3. Требования техническим и программным средствам Программа выполнена на языке ассемблера 8086 процессора, соответственно ей необходим IBM PC – совместимый компьютер с процессором не ниже 8086, также программа может выполняться на компьютерах с ...
... в широкую практику разработки программ объектно-ориентированного программирования, впитавшего в себя идеи структурного и модульного программирования, структурное программирование стало фактом истории информатики. Билет № 9 Текстовый редактор, назначение и основные функции. Для работы с текстами на компьютере используются программные средства, называемые текстовыми редакторами или текстовыми ...
... можно изобразить отдельно. Формирователь выхода «Равенство кодов» Формирователь выхода «Больше» Формирователь выхода «Меньше». Арифметические устройства Другой класс приборов, используемых в дискретной технике предназначен для выполнения арифметических действий с двоичными числами: сложения, вычитания, умножения, деления. К арифметическим устройствам относятся также схемы, ...
0 комментариев