Навигация
Проверим выполнимость аксиом
19358
знаков
0
таблиц
1
изображение
1. Проверим выполнимость аксиом.
1) 
;
2)
;
: Докажем, что 
.
Известно, что 
.
· Если 
и 
, то 
и 
, тогда 
. Так как 
, то .
· Если 
или 
, то 
, а 
, тогда .
2. Пусть 
- топология, порожденная метрикой 
, а 
- топология, порожденная метрикой 
. Докажем, что 
.
Пусть 
- открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого 
существует 
такое, что 
. Можно считать, что 
. Тогда 
является окрестностью в 
того же радиуса 
. Следовательно, открыто в топологии .
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего выше сказанного следует, что метрики и 
эквивалентны.
3. Из формулы 
следует, что 
для любых 
. Отсюда 
.
Определение. 
- топологические пространства, 
. Тихоновским произведением топологических пространств 
называется топологическое пространство 
, в котором базу топологии образуют множества 
, где 
открыто в 
для любого 
и 
для всех индексов кроме конечного их числа.
Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство. Пусть 
- метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика 
соответственно.
Рассмотрим 
.
Покажем:
1. является метрикой на 
и 
.
2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств 
.
Похожие работы
... , СССР; Том, С. П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США). Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется. Определение топологического пространства Напомним классическое определение непрерывности числовой функции f в точке x, восходящее к Коши. Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x, если для любого e ...
... называется нормальным, или Т4-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что АU, BV. ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. §1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА. Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства. Предложение 1.1. Всякое ...
... T, - Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T, - Пересечение двух множеств, принадлежащих T, принадлежит T. Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются открытыми множествами. Потребность в развитии общего подхода к понятию пространства возникла довольно давно – ...
ного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр. Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е. Уравновешенным подмножеством Е ...
0 комментариев