Навигация
Проверим выполнимость аксиом метрики
19358
знаков
0
таблиц
1
изображение
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1) 
(так как 
- метрика по условию).
2) 
, 
.
Так как 
(-метрика по условию), то 
, тогда 
.
3) Докажем, что 
.
, , 
. Но так как выполняется неравенство 
, то будет выполняться неравенство:
, тогда .
Теперь докажем, что 
.
, где 
геометрическая прогрессия, а 
, тогда 
.
2. 1) Покажем, что каждое множество 
, открытое в топологии, индуцированной метрикой 
, открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим произвольную точку 
. Существует такое 
, что 
. Далее достаточно найти положительное число 
и открытые множества 
, такие, что 
.
Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:
.
Для 
положим 
и 
для 
.
Для каждой точки 
. Рассмотрим полученные суммы. Так как 
, где 
, то 
. Так как 
для любых 
, то 
. Тогда 
, т.е. 
. Таким образом 
. Следовательно, множество 
открыто в тихоновской топологии произведения.
2) Пусть множество 
открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .
Требуется доказать, что для любой точки 
найдется такое , что 
.
Так как множество открыто в топологии произведении, то 
для некоторого множества 
, где 
- открыто в 
и 
для любого 
и для всех индексов 
кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то 
для конечного числа индексов, для которых 
. Пусть 
- наименьший из этих значений 
. Докажем, что 
. Возьмем произвольное 
. Тогда 
. Отсюда 
для любого . Это означает, что 
для любого . Получили 
. Следовательно, множество 
открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
Похожие работы
... , СССР; Том, С. П. Новиков) и теория сглаживания и триангулируемости (Дж. Милнор, США). Развитие Т. продолжается во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется. Определение топологического пространства Напомним классическое определение непрерывности числовой функции f в точке x, восходящее к Коши. Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x, если для любого e ...
... называется нормальным, или Т4-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что АU, BV. ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. §1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА. Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства. Предложение 1.1. Всякое ...
... T, - Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T, - Пересечение двух множеств, принадлежащих T, принадлежит T. Множество X вместе с заданной на нем топологией T называется топологическим пространством. Подмножества X, принадлежащие T, называются открытыми множествами. Потребность в развитии общего подхода к понятию пространства возникла довольно давно – ...
ного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр. Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е. Уравновешенным подмножеством Е ...
0 комментариев