Силовские подгруппы конечных групп

1. Силовские подгруппы конечных групп

По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число  делит порядок конечной группы , то в группе  может и не быть подгруппы порядка .

Пример 1.1 Знакопеременная группа  порядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.

Допустим противное, пусть  – подгруппа порядка 6 в группе . Тогда  и . Группа  содержит подгруппы

Если , то  и , противоречие. Поэтому , а т. к. , то . Противоречие. Поэтому допущение не верно и группа  не содержит подгруппу порядка 6.

Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей  порядка конечной группы имеется подгруппа порядка .

Положительный ответ на этот вопросв случае, когда  – степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.

Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы  делится на простое число , то в группе  существует элемент порядка .

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа  порядка , простое число  делит , то в группе  существует элемент порядка . Пусть .

Если  делит  для некоторого , то  – элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группы  имеют порядки, не делящиеся на .

не делится на .

Так как группа  абелева, то  – подгруппа, и к произведению  можно применить следующее

не делится на .

Затем  обозначаем через  и опять получаем, что  не делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, что  не делится на . Но

и , т.е. получаем, что  не делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.

Пусть  – простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Теорема 1.3 Ошибка!. Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда спарведливы следующие утверждения:

в группе  существует подгруппа порядка  для каждого ;

если  – -подгруппа группы  и  – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

любые две подгруппы порядка  сопряжены в группе ;

число подгрупп порядка  в группе  сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Доказательство. Доказательство проведём индукцией по . По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка  утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Порядок центра  делится на .

Так как  – абелева группа, то к  применима лемма 1.2. По этой лемме в  есть элемент  порядка . Так как  – нормальная подгруппа группы  порядка , то факторгруппа  имеет порядок  и по индукции в группе  имеется подгруппа  порядка  для каждого . По теореме о соответствии в группе  имеется подгруппа  такая, что  и . Теперь , где . Итак, в группе  порядков  соответственно.

Случай 2. Порядок центра  группы  не делится на .

Рассмотрим разложение группы  в объдинение различных классов сопряжённых элементов

где

– класс сопряжённых с  элементов. Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число элементов в классе  равно индексу централизатора . Пусть

Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой . И обратно, если централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в центр . Поэтому из <1> получаем

где  для каждого . Если все числа  делятся на , то из <2> следует, что  делится на , что противоречит рассматриваемому случаю. Итак, существует , где  такое, что  не делит . Поскольку  то

где  – целое число и  не делит . Теперь к группе  применима индукция. По индукции в группе  существует подгруппа порядка  для каждого  Эта подгруппа будет искомой для группы .

Рассмотрим разложение группы  на двойные смежные классы по подгруппам  и :

Зададим отображение

переводящее элементы двойного смежного класса  в элементы произведения подгрупп  и . Легко проверить, что отоюражение  взаимно однозначно, поэтому, получаем

где  Так как  есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа  делит  и  – целое число. Из <3> теперь получаем:

Сокращая обе части на  получим:

Так как  взаимно просто с , а  – целое число, являющееся степенью , то в правой части <4> существует слагаемое, равное единице. Пусть например, , где . Тогда .

Пусть  и  – подгруппы порядка . По существует элемент  такой, что . Так как , то .

Пусть  – группа порядка  – подгруппа порядка  и  – нормализатор подгруппы  в группе . Рассмотрим разложение группы  на двойные смежные классы по  и :

Отображение

будет взаимно однозначным отображением  на . Теперь из <5> получаем:

Положим . Элемент  можно выбрать единичным, поэтому  и . Теперь

Проверим, что под знаком суммы нет слагаемых равных 1. Допустим противное, т.е. что для некоторого  имеем равенство . Это означает, что  и подгруппа  содержит две подгруппы  и  порядка . По существует элемент  такой, что . Но тогда , а так как , то и . Но это возможно только при , противоречие. Значит, допущение неверно и в равенстве <6> под знаком суммы все слагаемые отличны от единицы. Поскольку каждое слагаемое есть степень простого , то из равенства <6> получаем сравнение  . По все подгруппы порядка  группы  сопряжены между собой, а число подгрупп сопряжённых с  равно . Поскольку , то  делит .

Теорема доказана.

Силовской  – подгруппой конечной группы  называют такую  – подгруппу, индекс которой не делится на . Непосредственно из теоремы получаем

Следствие 1.4 Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда:

существует силовская –подгруппа и её порядок равен ;

каждая –подгруппа содержится в некоторой силовской –подгруппе;

любые две силовские –подгруппы сопряжены;

число силовских –подгрупп сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Теорема 1.5 Для конечной группы  и её силовской –подгруппы  справедливы следующие утверждения:

если , то  – силовская –подгруппа в , а  – силовская –подгрупппа в ;

;

если  и , то

и

пусть  – все простые делители порядка группы ,  при , и пусть  – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как  и  не делит , то  – –группа, а из того, что

следует

и  не делится на . Значит  – силовская –подгруппа в .

Поскольку , то  – –группа, а так как

не делится на , то  – силовская –подгруппа в .

Для  получаем

т.е. . Обратно, если , то . Теперь  и  – силовские подгруппы в , которые по следствию 1.4 сопряжены в , т.е. существует элемент , такой, что . Теперь  и , т.е.

Если

то  и

Если , то пусть  означает наивысшую степень , делящую порядок . По следствию 1.4  – порядок силовской –подгруппы из . Из следует, что

и

Если

то

и

Обратно, пусть

где ,  и . Тогда

Поскольку уже доказано, что

то , где

Теперь

и

Следовательно,

Пусть

Тогда  делит  для каждого  и поэтому

делит , т.е. . Для  имеем , откуда .

Теорема доказана.

Лемма 1.6 Ошибка!. Если  – нормальная подгруппа конечной группы  и  – силовская  – подгруппа из , то .

Доказательство. Пусть  – произвольный элемент из . Так как , то  и по следствию 1.4 подгруппы  и  сопряжены в . Поэтому, существует элемент  такой, что , откуда

и

Таким образом, .

Лемма доказана.

Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема.

Доказательство. Пусть  – силовская подгруппа группы  и  – подгруппа группы , содержащая . Так как , то по лемме Фраттини

Лемма доказана.

Лемма 1.8 Пусть  – –подгруппа конечной группы ,  и  не делит . Тогда

Доказательство. Ясно, что

По условию подгруппа  является силовской подгруппой в . Пусть

Тогда  и по лемме Фраттини .

Лемма доказана.

Пример 1.9 Симметрическая группа  степени 6 имеет порядок . По теореме Силова  содержит подгруппы порядков . Силовская 2‑подгруппа имеет порядок , силовская 3‑подгруппа имеет порядок  и силовская 5‑подгруппа имеет порядок 5.

Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.

Пусть  – группа порядка 15. В группе  имеется подгруппа  порядка 3 и подгруппа  порядка 5. По следствию 1.4 число силовских 3‑подгрупп имеет вид  для некоторого неотрицательного целого  и делит 5. Поэтому в группе имеется только одна подгруппа порядка 3. Так как любые две силовские 3‑подгруппы сопряжены, то . Аналогично, число силовских 5‑подгрупп равно  и делит 3. Поэтому . Так как  и  – циклические подгруппы простых порядков, то группа . Теперь для любых  имеем:

поэтому

и . Следовательно, группа  абелева. Теперь ясно, что  – циклическая группа.