Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3. Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3.1 Силовские множества и их свойства

Определение 3.1.1 Множество , состоящее из попарно перестановочных силовских –подгрупп из , в точности по одной подгруппе для каждого , вместе с самой группой , называется силовской системой группы .

В своей книге Дерк и Хоукс использовали название «силовский базис» вместо силовской системы . Введем следующее определение.

Определение 3.1.2 Силовским множеством группы назовем множество силовских подгрупп, взятых по одной для каждого простого делителя порядка группы, вместе с единичной подгруппой.

Таким образом, если  – группа порядка , то множество  будет силовским множеством. Здесь E – единичная подгруппа группы ,  – силовская –подгруппа группы  и все числа  различны.

Из теоремы Силова следует, что каждая группа  обладает силовским множеством . Если дополнительно  для всех подгрупп из , то силовское множество превращается в силовскую систему, см.. Известно, что любая разрешимая группа обладает силовской системой, и наоборот, если в группе имеется силовская система, то группа разрешима. Кроме того, если  и  – силовские системы разрешимой группы , то  для некоторого .

Пусть  – некоторое множество подгрупп группы  и  – нормальная подгруппа группы . Воспользуемся следующими обозначениями:

где  – некоторый гомоморфизм группы  в некоторую группу .

В разделе 3.1 изучаются свойства силовских множеств, которые необходимы при доказательстве. Для формулировок теорем потребуется следующее

Определение 3.1.3 Пусть  – некоторое множество подгрупп группы . Подгруппа  группы  называется –квазинормальной, если  для всех . Если  – множество всех подгрупп группы , то –квазинормальную подгруппу называют квазинормальной.

Лемма 3.1.4. Пусть  – силовская –подгруппа группы  и . Тогда  – силовская –подгруппа группы , а  – силовская –подгруппа факторгруппы .

Лемма 3.1.5 Пусть  – нормальная подгруппа группы .

Если  – силовское множество группы , то  является силовским множеством факторгруппы .

Если  – силовское множество группы , то  является силовским множеством подгруппы .

Если факторгруппа  имеет силовское множество , то найдется в группе  такое силовское множество , что .

Если нормальная подгруппа  группы  имеет силовское множество , то найдется в группе  такое силовское множество , что .

Если  – силовское множество группы  и  – некоторый гомоморфизм группы  в группу , то  является силовским множеством группы .

Доказательство. Пусть  – силовское множество группы . Рассмотрим множество , в котором может оказаться более одной единичной подгруппы, но в этом случае следует оставить только одну единичную подгруппу. Кроме  множество  включает силовские подгруппы факторгруппы  по лемме 3.1.4. Следовательно,  есть силовское множество факторгруппы .

Пусть  – силовское множество группы . Из равенства  и из того, что по предыдущей лемме  является силовской подгруппой в группе  получаем, что  есть силовское множество в .

Теперь пусть в факторгруппе  известно силовское множество . Тогда существуют силовские подгруппы  такие, что  для . Рассмотрим простые числа . Для всех таких простых чисел существуют силовские –подгруппы , где . Теперь  будет силовским множеством группы . И выполняется равенство

Если  – силовское множество нормальной группы , то по предыдущей лемме и по теореме Силова найдутся силовские –подгруппы  группы , для , такие, что . Теперь рассмотрим все простые числа  и для каждого такого простого числа  в группе  возьмем по одной силовской –подгруппе . Теперь  будет силовским множеством группы  и .

Рассмотрим  – силовское множество группы  и гомоморфизм  группы  в группу . По принятому обозначению . По свойствам гомоморфизма подгруппа  будет силовской подгруппой группы . То есть  есть силовское множество группы .

Лемма доказана.

Лемма 3.1.6 Пусть  – силовское множество группы  и  – –квазинормальная подгруппа группы . Тогда верны следующие утверждения:

если  – гомоморфизм группы , тогда подгруппа  –квазинормальна в группе ;

если  и  – нормальная подгруппа группы , то подгруппа  –квазинормальна в группе ;

если  – произвольная нормальная подгруппа группы , то в факторгруппе  подгруппа  будет –квазинормальной.

Доказательство. По лемме 3.1.5 множество  является силовским множеством группы . Так как  для , то имеем  и  есть -квазинормальная подгруппа в .

По лемме 3.1.5 множество  будет силовским множеством группы . Так как  – подгруппа группы , то  – подгруппа группы . Поэтому .

По лемме 3.1.5 множество  будет силовским множеством факторгруппы . И на основании равенства  получаем перестановочность подгруппы  с подгруппами силовского множества  факторгруппы .

Лемма доказана.

Лемма 3.1.7 Пусть группа  с силовским множеством ,  – подгруппа группы . Если подгруппа  –квазинормальна, то сама подгруппа  будет –квазинормальной для любого элемента  группы .

Доказательство. По условию , для любой подгруппы , произвольного элемента . Рассмотрим произведение

Так как  – подгруппа группы , то  – подгруппа, поэтому , то есть  – –квазинормальная подгруппа группы .

Лемма доказана.

Пусть  – силовское множество группы . Выше пересечение  определялось для нормальной подгруппы  группы . В этом случае по лемме 3.1.5 пересечение является силовским множеством группы . Если  – произвольная, не обязательно нормальная, подгруппа группы , то положим . Отметим, что в этом случае  может не быть силовским множеством группы .

Лемма 3.1.8 Пусть  – группа,  – ее силовское множество. Если  – –квазинормальная подгруппа группы , причем  и индекс  в группе  примарный, то  – примарная группа.

Доказательство. Пусть  и пусть . Так как  – –квазинормальная подгруппа, то  – подгруппа группы  для каждого . По теореме об индексах

где , . Для каждого  имеем , то есть  и . Но по условию , поэтому  и  – –группа.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.9 Пусть  – нормальная подгруппа группы . Если  – циклическая –подгруппа факторгруппы , то существует элемент  такой, что  – –подгруппа и .

Доказательство. Пусть  – минимальное добавление к подгруппе  в группе . Тогда  по лемме 2.3.23, поэтому  является -группой. Так как  и  циклическая, тогда  – циклическая подгруппа, то есть  подгруппа из  для некоторого .

Лемма доказана.