Полунормальные подгруппы

2. Полунормальные подгруппы

2.1 Свойства супердобавлений

Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа  группы  называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа , что  и  – собственная подгруппа группы  для каждой подгруппы  из , отличной от .

Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.

Пример 2.1.3 В симметрической группе  силовская –подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.

Лемма 2.1.4 Если подгруппа  полунормальна в группе  и в группе  нет собственных добавлений к , то  квазинормальна.

Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе  совпадают с самой группой , то и супердобавлением к  будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что  перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения. Если  – подгруппа группы , то  – множество всех супердобавлений к подгруппе  в группе . Ясно, что  в точности тогда, когда  не является полунормальной подгруппой.

Пусть  и  – подгруппы группы ,  и подгруппа  нормальна в группе . Введём следующие обозначения:

 – обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа  содержится в .

Запись

означает, что для любой подгруппы  существует подгруппа  такая, что  содержится в .

Лемма 2.1.5 Если  – полунормальная подгруппа группы  и , то  – полунормальная подгруппа группы  и

Доказательство. Пусть . Тогда  и  – собственная подгруппа группы  для любой подгруппы  из , отличной от . Ясно, что  для любого элемента  из , а так как  можно считать произвольной в  подгруппой, отличной от , то  – собственная подгруппа группы . Поэтому  полунормальна в  и  – супердобавление к  в группе , то есть . Отсюда следует, что . Группа  для любого . Так как , то , где , . Теперь . Если  – подгруппа из , отличная от , то  – подгруппа из , отличная от . Поэтому  – собственная подгруппа группы  и . Значит,  для всех . Отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.6 Если  – полунормальная подгруппа группы  и  – подгруппа, содержащая , то  полунормальна в  и для любой подгруппы  пересечение  содержит супердобавление к подгруппе  в .

Доказательство. Пусть  полунормальна в  и . Так как , то по тождеству Дедекинда имеем . Пусть  – наименьшая подгруппа из , для которой . Если  – собственная подгруппа из , то . Поскольку , то  – подгруппа группы , поэтому  полунормальна в  и  – супердобавление в .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.7 Если  – полунормальная подгруппа группы  и , то  – полунормальная подгруппа группы  и любая группа из  содержит супердобавление к  в .

Доказательство. Пусть  полунормальна в  и . Тогда . Пусть  – наименьшая подгруппа из  такая, что . Выберем произвольную подгруппу  из , отличную от . Так как , то . Поскольку , то по тождеству Дедекинда . Теперь , а из полунормальности  следует, что  – подгруппа группы  и  – собственная подгруппа группы . Это означает, что  полунормальна в  и . Так как , то лемма доказана.

Лемма 2.1.8 Пусть  – полунормальная подгруппа группы  и . Если  – полунормальная подгруппа группы , то  – полунормальная подгруппа группы  и .

Доказательство. По условию  и , где . Кроме того,  – подгруппа группы . Ясно, что . Если  – собственная подгруппа в , то  – собственная подгруппа в  и . Ясно, что  и  перестановочны с , поэтому . Так как , то . Значит,  является супердобавлением к  в , то есть , что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.9 Если  – подгруппа группы  и  – её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:

 полунормальна в группе  и ;

для каждого элемента  и каждого элемента  существуют целое число  и элемент  такие, что .

Доказательство. . Пусть подгруппа  полунормальна в группе  и  – ее супердобавление. Подгруппа , где  пробегает все элементы группы , причем  – подгруппа группы , что следует из полунормальности . Поэтому . Теперь выбираем произвольные элемент  и элемент . В силу того, что  получаем, что  для некоторого целого числа  и некоторого элемента .

. Пусть для каждого элемента  и каждого элемента  существуют целое число  и элемент  такие, что . Так как из равенства  вытекает включение , а из равенства  следует, что , значит . Ввиду того, что для любой подгруппы  из  имеем , где , то получаем равенство . Это означает, что  полунормальна в  и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.10 Пусть , подгруппа  нормальна в группе . Подгруппа  полунормальна в группе  тогда и только тогда, когда подгруппа  полунормальна в группе .

Доказательство. Пусть подгруппа  полунормальна в группе . Тогда по лемме 2.1.7 подгруппа  полунормальна в группе .

Обратно, если  полунормальна в , то из определения полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа  из факторгруппы  такая, что  и , где . Откуда следует, что . Пусть  – наименьшая подгруппа из  такая, что  и . Рассмотрим произвольную собственную подгруппу  из .

Если , то  – собственная подгруппа группы , поэтому  – подгруппа группы .

Если  не содержит , то  – подгруппа группы  и  – подгруппа группы . Это означает, что  полунормальна в  и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа  полунормальна в ,  и . Тогда для любого  подгруппа  перестановочна со всеми сопряженными подгруппами .

Доказательство. Если элемент , то , где , . Из полунормальности подгруппы  вытекает, что . Имеем . Поэтому .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть  – квазинормальная подгруппа группы  и  – полунормальная подгруппа с супердобавлением . Тогда  и  – собственная подгруппа группы  для всех собственных подгрупп  из . Пусть  – наименьшая в  подгруппа, для которой . Если , то , а так как  – подгруппа группы  и  квазинормальная, то  и  есть подгруппа группы .

Лемма доказана.