Супердобавления к максимальным подгруппам

2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам

Теорема 2.2.1 Пусть  – максимальная подгруппа группы . Подгруппа  обладает супердобавлением в группе  тогда и только тогда, когда индекс  в  есть простое число.

Доказательство. Необходимоcть. Пусть  – максимальная подгруппа группы  и  имеет супердобавление в группе , т.е. существует такая подгруппа  из , что  и  есть собственная подгруппа в  для каждой подгруппы  из , отличной от . Пусть  и  – две различные максимальные подгруппы в группе . Тогда  и . Из максимальности  следует, что  и  являются подгруппами . Но тогда , противоречие с тем, что  и  – максимальная в  подгруппа. Следовательно, в  имеется единственная максимальная подгруппа . Если , то циклическая подгруппа, порожденная элементом , не содержится в , поэтому . Кроме того,  – примарная группа, то есть . Если  – максимальная подгруппа в , то индекс  в  есть простое число  и  – подгруппа в . Поэтому, .

Достаточность. Пусть  – подгруппа группы  и . Пусть  – силовская -подгруппа группы . Тогда  не содержится в  и существует элемент . Пусть , . Ясно, что , поэтому

и . Теперь  принадлежит , следовательно, если  – собственная подгруппа циклической группы , то  – подгруппа в  и  обладает супердобавлением  в группе .

Теорема доказана.

Следствие 2.2.2 Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы имеют супердобавления.

Доказательство. Если  – сверхразрешимая группа, то все ее максимальные подгруппы имеют простые индексы. По теореме 2.2.1 все максимальные подгруппы обладают супердобавлениями.

Обратно, пусть все максимальные подгруппы имеют супердобавления. По теореме 2.2.1 все они имеют простые индексы. Следовательно группа  сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.3 Пусть  – некоторое множество простых чисел. Если в -разрешимой группе  каждая максимальная подгруппа, индекс которой делится на простое число из , имеет супердобавление, то  – -сверхразрешима.

Доказательство. По теореме 2.2.1 индекс каждой максимальной подгруппы из  либо -число, либо равен некоторому простому числу из . Группа  -сверхразрешима для всех . Поэтому  -сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.4 Если подгруппа  имеет супердобавление в группе  и  – подгруппа группы, в которой  является максимальной подгруппой, то  – простое число.

Доказательство. По лемме 2.1.6 подгруппа  обладает супердобавлением в , а по теореме 2.2.1 индекс  в  – простое число, что и требовалось доказать.

Следствие 2.2.5 В любой группе пересечение максимальных подгрупп, не обладающих супердобавлениями, является сверхразрешимой подгруппой.

Доказательство. Данное пересечение совпадает с пересечением максимальных подгрупп непростых индексов. Поэтому это пересечение сверхразрешимо.

Следствие доказано.

Пусть  – формация всех сверхразрешимых групп. Тогда  – проектор разрешимой группы  называется сверхразрешимым проектором группы  или подгруппой Гашюца. По теореме Гашюца в каждой разрешимой группе существует единственный сопряженный класс сверхразрешимых проекторов. Кроме того, если  – сверхразрешимый проектор разрешимой несверхразрешимой группы  и , то  – не простое число. Из теоремы 2.2.1 получаем

Следствие 2.2.6 Сверхразрешимый проектор разрешимой группы обладает супердобавлением тогда и только тогда, когда он совпадает со всей группой.

Доказательство. Пусть  – разрешимая группа и  – ее сверхразрешимый проектор. Предположим, что подгруппа  обладает супердобавлением в  и . Пусть  – подгруппа группы , в которой  является максимальной подгруппой. По лемме 2.1.6 подгруппа  полунормальна в , а по следствию 2.2.4 индекс  – простое число. Но это противоречит отмеченному свойству сверхразрешимого проектора. Поэтому . Обратное утверждение очевидно.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.7 В разрешимой несверхразрешимой группе сверхразрешимый проектор не квазинормален.

Доказательство. Пусть группа  и  – ее сверхразрешимый проектор. Если подгруппа  полунормальна, то по следствию 2.2.6 подгруппа  – противоречие с выбором группы . Значит, подгруппа  не полунормальна, тем более не квазинормальна.

Следствие доказано.