Супердобавления к силовским подгруппам

2.3 Супердобавления к силовским подгруппам

Теорема 2.3.1 Пусть  – наибольший простой делитель порядка группы  и  – ее силовская -подгруппа. Если  обладает супердобавлением в , то  – нормальная подгруппа группы .

Доказательство. Докажем вначале утверждение для бипримарных групп. Пусть  и  – простые числа, , и  – бипримарная группа, где  – силовская -подгруппа, а  – силовская -подгруппа. По условию  обладает супердобавлением в , поэтому, можно считать, что  является этим супердобавлением. Если  и  – различные максимальные подгруппы группы , то из полунормальности  следует, что  и  – собственные в  подгруппы. По лемме 2.1.2 и по индукции получаем, что  и . Поэтому  и  нормальна в .

Пусть теперь в  есть единственная максимальная подгруппа. Тогда  – циклическая примарная группа, а так как , то  нормальна в .

Теперь рассмотрим произвольную группу . По условию теоремы существует супердобавление  к подгруппе  в группе , где  – силовская -подгруппа для наибольшего делителя  порядка группы . То есть  и  для любой собственной подгруппы  из . Пусть  – силовская -подгруппа из  для . Ясно, что  силовская в . Так как  – бипримарная подгруппа, в которой  полунормальна, по доказанному выше . Из того, что  – любое простое число, отличное от , получаем, что  нормальна в .

Теорема доказана.

Следствие 2.3.2 Если в группе  все силовские подгруппы обладают супердобавлениями, то  дисперсивна по Оре.

Доказательство сразу вытекает из предыдущей леммы и определения дисперсивной по Оре группы.

Следствие 2.3.3 Если в группе  все силовские подгруппы имеют супердобавления, то  сверхразрешима.

Доказательство. Из теоремы 2.3.1 вытекает, что группа  дисперсивна по Оре. Пусть  – силовская -подгруппа для наибольшего простого делителя  порядка группы  и пусть  и . По условию , где  – силовская -подгруппа в , – ее супердобавление. Пусть  – силовская -подгруппа из . Так как  – силовская -подгруппа в , то  полунормальна в . По лемме 2.1.6  полунормальна в , то есть , где  – супердобавление к  в . По лемме 2.1.8 произведение  является полунормальной в  подгруппой и , причем  есть супердобавление к  в . Через  шагов получим, что  – полунормальная в  подгруппа, где  – силовская -подгруппа для . Ясно, что  и .

Пусть  – подгруппа простого порядка из , нормальная в . Из того, что  полунормальна в  следует, что  – подгруппа группы . Так как , то  и . Итак, в группе  имеется нормальная подгруппа  простого порядка . По лемме 2.1.6 условие доказываемого утверждения распространяется и на факторгруппу . По индукции  сверхразрешима. Теперь  сверхразрешима.

Следствие доказано.

Следствие 2.3.4 Пусть  – группа и  – такое множество простых чисел, что  для любых  и . Если в группе  силовская –подгруппа обладает супердобавлением для всех , то  –замкнута и ее –холловская подгруппа сверхразрешима.

Доказательство. Пусть  – силовская –подгруппа для наибольшего простого . Тогда  – наибольший простой делитель порядка группы  и по теореме 2.3.1 подгруппа  нормальна в . По индукции  –замкнута, поэтому  –замкнута и в  есть –холловская подгруппа , которая сверхразрешима по следствию 2.2.2.

Следствие доказано.

Определение 2.3.5 Конечную группу  будем называть –разрешимой, если каждый из ее композиционных факторов является либо –группой порядка  либо –группой.

Группа  разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она –разрешима для всех простых  Ясно, что группа  –разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа  является либо –группой, либо –группой. Поэтому для такой группы можно индуктивно определить верхний –ряд.

где  Здесь  – наибольшая нормальная –подгруппа группы   – наибольшая нормальная –подгруппа  Наименьшее натуральное число  для которого  называют –длиной  группы

В следующей теореме будет использован результат В.Н. Тютянова: если для любого простого делителя  порядка группы  существуют бипримарные –холловские подгруппы, то группа  разрешима. В доказательстве этого результата использовалась классификация конечных простых групп.

Теорема 2.3.6 Если в группе  силовская –подгруппа обладает супердобавлением, то  –разрешима и  для любого .

Доказательство. В начале приведём утверждение из работы: пусть  – группа и  – её полунормальная подгруппа. Тoгда:

– если  – –нильпотентна, то нормальное замыкание  подгруппы  в группе  разрешимо.

– если порядок  подгруппы  группы  нечетен, то и  нечетен.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть . Получаем, что  нечетен, где  – силовская –подгруппа группы . Следовательно, подгруппа  разрешима. Теперь  – -группа. И группа  –разрешима. Пусть  – произвольный элемент из , . Тогда  из теоремы 2.3.1 и , где  – силовская –подгруппа группы . Следовательно, теорема верна в этом случае.

2) Пусть . Имеем  и  для любой собственной подгруппы  из . Из полунормальности силовской –подгруппы  группы  следует, что в группе  существуют  – –холловы подгруппа группы  для каждого . Таким образом, в группе  существуют бипримарные –холловские подгруппы для любого нечётного простого делителя , поэтому группа  разрешима.

Теорема доказана.

Лемма 2.3.7. Пусть  – –разрешимая группа.

Если  – нормальная подгруппа в  то

Если  – подгруппа в  то

Пусть  и  – нормальные подгруппы в  тогда

Кроме того,

Пусть  и  – нормальные подгруппы в  тогда

Лемма 2.3.8. Пусть  – –разрешимая группа такая, что , но  для всех нормальных неединичных подгрупп  группы . Тогда справедливы следующие условия:

в группе  существует максимальная -нильпотентная нормальная подгруппа  которая является элементарной абелевой -группой;

 – единственная минимальная подгруппа в группе  имеющая добавление;

Лемма 2.3.9. Если  – наименьшее из чисел, принадлежащих  и силовская –подгруппа  циклическая, то в группе существует нормальная подгруппа  такая, что .

Непосредственно из определения –длины получаем следующую лемму.

Лемма 2.3.10 В –разрешимой группе  тогда и только тогда , когда факторгруппа  –замкнута.

Лемма 2.3.11 Если в группе  все –подгруппы имеют супердобавления, то .

Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что группа  –разрешима. Применим индукцию по порядку группы . Тогда по лемме 2.3.8 можно считать, что , в группе  подгруппа Фиттинга  – минимальная нормальная –подгруппа. Пусть  – силовская –подгруппа группы . По условию  полунормальна. Тогда , где . Для любой собственной подгруппы  из  верно, что  – подгруппа группы . По лемме 2.1.6 все –подгруппы имеют супердобавления в . Так как , то по индукции . Заметим также, что , поскольку . Теперь по лемме 2.3.10 подгруппа .

Если в подгруппе  существуют две максимальные подгруппы  и , то  и . Следовательно,  и . Поэтому в  существует единственная максимальная подгруппа и подгруппа  примарная циклическая, то есть . Если , то  по теореме 2.3.1. Значит .

Пусть  – подгруппа порядка  из . Тогда , так как . Теперь , поэтому . Значит,  и  – циклическая группа порядка, делящего . То есть . Теперь .

Лемма доказана.

Из определения –сверхразрешимой группы вытекают следующие две леммы.

Лемма 2.3.12 Всякая –сверхразрешимая группа имеет единичную –длину.

Лемма 2.3.13 Если подгруппа ,  или  – –группа и факторгруппа  –сверхразрешима, то и группа  –сверхразрешима. В частности, если группа  –сверхразрешима, то и группа  –сверхразрешима.

Теорема 2.3.14 Если в группе  все –подгруппы имеют супердобавления, то  –сверхразрешима.

Доказательство проведём индукцией по порядку группы . В силу леммы 2.3.13 можно считать, что .

Из леммы 2.3.9  следует, что подгруппа  нормальна в группе . Рассмотрим подгруппу  такую, что . Подгруппа  имеет супердобавления как –подгруппа, поэтому  есть подгруппа группы . Теперь  и . Следовательно, подгруппа  нормальна и в группе . Теперь факторгруппа  –сверхразрешима по индукции. Значит и группа  –сверхразрешима.

Теорема доказана.

Пример 2.3.15 Если силовская -подгруппа обладает супердобавлением, то не всегда . В симметрической группе  силовская –подгруппа полунормальна, но .

Пример 2.3.16 В  существует подгруппа порядка , не имеющая супердобавления.

Доказательство. Пусть , где

Предположим, что подгруппа , имеющая порядок , имеет супердобавление в . Тогда существует подгруппа  такая, что  и  – собственная подгруппа группы  для каждой подгруппы  из , отличной от . Так как  делится на , то можно считать, что силовская -подгруппа  группы  содержится в . Но теперь

и , т.е.  не является подгруппой группы , получили противоречие. Утверждение доказано.

Теперь пусть  – класс групп, у которых все подгруппы имеют супердобавления. По леммам 2.1.6 и 2.1.7 класс  – наследственный гомоморф. Из предыдущего примера вытекает, что  не является радикальным классом и не является формацией. Кроме того,  не содержит класс вполне факторизуемых групп.

Пример 2.3.17 Пусть  – сверхразрешимая группа Шмидта. проверим, что в  все подгруппы обладают супердобавлениями. Действительно:

1) ;

2)  полунормальна в группе как подгруппа простого индекса;

3) если выбрать произвольную подгруппу , то  и , тем более полунормальна;

4) если  – произвольная непримарная подгруппа группы , то , где , и .

Таким образом, в  все подгруппы, кроме  и ей сопряженных, нормальны, тем более имеют супердобавления.

Пример 2.3.18 Пусть  – группа диэдра порядка . Тогда

Проверим, что в  все подгруппы обладают супердобавлениями.

Подгруппа  полунормальна, она даже нормальна.

Подгруппа  полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так  и для единственной собственной подгруппы  из  имеем .

Подгруппа  полунормальна, так как  и для любой подгруппы всегда существует минимальное добавление в группе.

Подгруппа  полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так  и .

Подгруппа  полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так  и .

Подгруппа  полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так  и .

Итак, в нильпотентных группах подгруппы, обладающие супердобавлениями, могут быть ненормальными.