Рекурсия

3.2 Рекурсия

Особое место для систем функционального программирования приобретает рекурсия, поскольку она позволяет учитывать значения функции на предыдущих шагах.

С теоретической точки зрения рекурсивные определения являются теоретической основой всей современной теории вычислимых функций. Рассмотрим два способа вычисления f(1)+f(2)+…+f(n). При итерации сделаем следующим образом. Определим подпрограмму:

Sub Add(S,k,f)

S=S+f

k=k-1

End Sub

Тогда процедуру без использования цикла можно определить следующим образом:

S=0

k=n

I: Add(S,k,f(k))

J: If k¹0 Then Goto I

Здесь подпрограмма Add выполняется n раз последовательно и независимо, причем каждый раз используется только одна команда возврата. Это итерация.

Для рекурсии построим функцию:

If k=0 Then

Sum(f,k)=0

Else

Sum(f,k)=f(k)+Sum(f,k-1)

End If

Теперь достаточно просто узнать значение Sum(f,n). Рассмотрим частный случай при n=2. Из определения следует, что необходимо вычислить f(2), а затем обратиться к вычислению Sum(f,1), результат вычисления которого должен быть прибавлен к f(2). Следовательно, сохранить в памяти f(2), установить еще один возврат и обратиться еще один раз к нашему определению. Теперь вычисляем f(1), снова запоминаем результат в памяти, устанавливаем третий возврат и в третий раз обращаемся к определению для вычисления Sum(f,0). Последняя функция равна 0, и мы выходим из определения, используя возврат, установленный перед обращением к определению. Далее прибавляем 0 к f(1), снова выходим из определения, используя второй возврат, прибавляем 0+f(1) к f(2) и производим окончательный выход. Это рекурсия. Определение Sum использовалось не последовательно и независимо, а с вложением последующего использования в предыдущее (что характерно для индуктивного вывода), три команды возврата одновременно хранились в памяти и использовались по принципу «последний пришел – выполнился первый» (LIFO).

Здесь мы рассмотрели пример простой рекурсии. Другим более сложным примером рекурсии является вычисление чисел Фибоначчи. Их можно определить с помощью следующих формул:

Формально число Фибоначчи можно вычислить по следующей явной формуле:

F(n) = [(1 + Ö5)ⁿ – (1 - Ö5)ⁿ] / (2ⁿ Ö5).

Эта формула относительно сложна. На самом деле в этом виде задача даже полностью не решена, поскольку алгоритм использования формулы требуется уточнить. Например, осуществлять ли раскрытие внутренних скобок по формуле бинома? Какое значение брать для числа Ö5, то есть сколько брать десятичных знаков? Очевидно, что хотя результат должен быть целым, он не будет таковым. Следовательно, встает вопрос, до какого соседнего целого нужно округлять? Как быть при этом уверенным в результате?

Для этой задачи можно использовать решение с непосредственной подстановкой:

Sub F(n)

If n > 2 Then

F(n) = F(n – 1) + F(n – 2)

Else

F(n) = 1

End If

End Sub

Для приведенных выше функций существуют алгебраические выражения, по которым их можно вычислить. Поэтому, используемые для них рекурсии, будем называть простыми. Однако, существуют функции, которые не являются простыми рекурсиями. Эти функции можно определить рекурсивно, но нельзя записать в терминах алгебраических выражений. Характерным примером является функция Аккермана. Пытаясь определить эту функцию алгебраически, получим только последовательность экспонент, записанных через многоточие. С другой стороны существует простая запись этой функции через рекурсию:

A(m,n)=iif(m=0,n+1,iif(n=0,A(m-1,1),A(m-1,A(m,n-1)))).

Вообще говоря, вычисление таких функций может быть бесконечным (характерная особенность индуктивного вывода). В качестве примера приведем функцию f(m,n), результатом которой является 1 в случае, если в десятичной записи числа p встречается фрагмент из последовательности повторяющихся цифр m длиной n.

Можно показать, что алгоритм вычисления этой функции существует, но неизвестно каков он. Мы можем последовательно вычислять знаки p в надежде, что искомая последовательность обнаружится. Такие функции еще называются общерекурсивными.

В зависимости от того, как оформлен вызов рекурсии, можно выделить еще несколько ее разновидностей. Рекурсия называется параллельной, если она встречается одновременно в нескольких аргументах функции, то есть когда тело определения функции f, содержит вызов некоторой функции g, несколько аргументов которой являются рекурсивным вызовом f:

f(…g(…,f,…,f,…)).

Рекурсия является взаимной между двумя или более функциями, если они вызывают друг друга, то есть когда в определении функции f вызывается функция g, которая в свою очередь содержит вызов функции g:

f((…)(…g…));

g((…)(…f…)).

Рекурсия более высокого порядка является рекурсией, в которой аргументом рекурсивного вызова является рекурсивный вызов:

f(…f(…f…)…).

Похожие работы

Общая терминология программирования

Скачать

71422

1

0

... программирование [application programming] — разработка и отладка программ для конечных пользователей, например бухгалтерских, обработки текстов и т. п.   Системное программирование [system programming] — разработка средств общего программного обеспечения, в том числе операционных систем, вспомогательных программ, пакетов программ общесистемного назначения, например: автоматизированных систем ...

Программирование и достижения компьютерной техники

Скачать

60551

0

0

... разработки программ, но и разработку пакетов прикладных программ. Эти разработки должны обеспечивать высокое качество и вестись примерно так же, как и выпуск промышленной продукции. Достижения компьютерной техники   1.         Универсальные настольные ПК Что такое настольный компьютер, объяснять никому не надо — это любимое молодежью устройство, чтобы красиво набирать тексты рефератов, а ...

Графические возможности программирования в курсе информатики

Скачать

110612

10

19

... набор процедур и функций языков программирования Basic и Pascal, позволяют управлять графическим режимом работы экрана, создавать разнооборазные графические изображения и выводить на экран текстовые надписи. ГЛАВА 2. ГРАФИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ В КУРСЕ ИНФОРМАТИКИ БАЗОВОЙ ШКОЛЫ (НА ПРИМЕРЕ BASIC И PASCAL)   2.1 Разработка мультимедиа курса «Графические возможности языков ...

Функциональное и логическое программирование

Скачать

11287

1

10

... информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования. Итогом работы можно считать созданную функциональную модель вычисления неэлементарных функций. Данная модель применима к функциям, если она не задана одной формулой посредством конечного числа ...