Дискретные модели

4.3 Дискретные модели

При анализе стохастических систем, встречающихся в самых различных областях науки и техники, исходными данными для анализа являются реализации случайного процесса генерируемого этой системой. Полученные в виде графиков, или осциллограмм, реализации случайного процесса обрабатываются и представляются в виде временного ряда. Временной ряд содержит ординаты реализации случайного процесса снятые в дискретные и равноотстоящие моменты времени. Следовательно, о свойствах исходной непрерывной системы судят по результатам цифровой обработки сигналов (временных рядов) формируемых системой. В связи с этим широкое распространение получили цифровые параметрические стохастические модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС-модели). Эти модели достаточно просты и включают обычно небольшое число параметров, которые необходимо оценивать по наблюдениям. АРСС-модели могут быть использованы как для изучения временных рядов, так и при определении статистических характеристик этих рядов. Широко используются такие модели в управлении, экономике, медицине, геофизике, при обработке звуковых сигналов [3, 6, 9, 11, 33, 56, 101].

АРСС процессом порядка (p, q) называется ряд

,  (4.19)

где v(k) – значения временного ряда в k-й момент времени;

e(k) – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (белый шум);

{ci, i = 1, p} –параметры авторегрессии;

{dj, j = 1, q} – параметры скользящего среднего.

Частными случаями АРСС (p, q) процессов является процесс АР(p) – авторегрессии порядка p:

, (4.20)

и процесс СС(q) – скользящего среднего порядка q:

. (4.21)

Уравнения (4.19) и (4.20) описывают рекурсивные фильтры, а уравнение (4.21) – трансверсальный фильтр [38]. Таким образом, процессы АРСС (p, q), АР(p) и СС(q) можно рассматривать как отклики соответствующих линейных фильтров на входной бело-шумный процесс {e(tk)}. Следовательно, условиями стационарности этих процессов являются условия устойчивости соответствующих фильтров: рекурсивный фильтр устойчив, если все корни характеристического уравнения

находятся внутри окружности единичного радиуса [30]. Трансверсальный фильтр порядка q устойчив без ограничения на параметры.

Если в в качестве стохастической системы рассматривается одномерный объект управления, то АРРС- модель объекта примет вид

, (4.22)

где y(k), u(k) выходная и входная координаты объекта.

Аналогично (4.19) АР-модель запишется как

, (4.23)

а СС-модель

. (4.24)

Уравнения (4.22) – (4.24) являются линейными разностными уравнениями объекта управления.

Используя z – преобразование их можно записать в символической форме.

АРСС –модель

, (4.25)

АР – модель

, (4.26)

СС – модель

, (4.27)

где y(z), u(z) и e(z) – z –изображения соответствующих сигналов;

,  - коэффициенты уравнения.

Вводя дискретную передаточную функцию объекта, как отношение z –изображений сигнала на входе к сигналу на выходе при нулевых начальных условиях можно записать

. (4.28)

При наличии запаздывания в объекте равному целому число периодов дискретизации выражение для дискретной передаточной функции необходимо умножить на

. (4.29)

Приводя помехи, действующие на объект управления к выходу, можно получит структурную схему объекта управления

Рис. 4.3.

.  (4.30)

Объединив выражения (4.29) и (4.30), получим модель объекта с шумом измерений:

.  (4.31)

В зависимости от типа модели шума, при котором гарантируется сходимость оценок модели (4.31), используются модели частного вида [30]:

– МП-модель (модель максимального правдоподобия):

,  (4.32)

– НК-модель (модель наименьших квадратов):

. (4.33)

Переход от непрерывной модели к дискретной задается с помощью z –преобразования.

. (4.34)

Тогда (4.35)

Сомножитель  указывает на наличие в дискретной системе экстаполятора нулевого порядка, который фиксирует сигнал на выходе дискретного элемента между моментами квантования.

В том случае если объект управления многомерный и имеет математическую модель заданную в пространстве состояний (4.6), то последняя сводится к дискретной модели вида

, (4.36)

где параметры (матрицы) дискретной системы связаны с параметрами (матрицами) исходной непрерывной выражениями

, (4.37)

где h – интервал квантования.

Ниже показаны различные формы математических моделей и их характеристики.

Дискретная передаточная функция объекта

Непрерывная передаточная функция объекта

Дискретная передаточная функция объекта

Непрерывная передаточная функция объекта

Рис. 4.5. Переходная характеристика объекта.

Рис. 4.6. ЛАЧХ и ФЧХ объекта.

Рис. 4.7. АФЧХ объекта.

Похожие работы

Орская ТЭЦ

Скачать

143711

9

3

... функционирующий элемент технологического оборудования: механический фильтр, осветлитель, цепочку фильтров блока обессоливания, группу баков и насосов и т.п.   3. Технологическая схема приготовления топлива В котлах Орской ТЭЦ-1 сжигается природный газ, представляющий собой механические смеси различных газов.Состав газа ( в %)а) метан - 97,37б) ...

Квалификационная работа для сотрудников Газпрома

Скачать

10865

1

0

... VS 24 ат.д.о и после задвижки, медленно открыть ее полностью, также медленно полностью открыть отсечную задвижку VB после турбины. 1.14. Параллельно с началом прогрева турбины включить в работу конденсаторы осевшего пара для чего: - прогреть п/провод до эжектора; - включить по воде конденсатор осевшего пара; - включить в работу эжектор и создать давление в линии отсоса пара уплотнений 0,3 ...

Разработка ресурсосберегающих технологий и режимов на городском электрическом транспорте

Скачать

241230

29

12

... состава, введенным согласно закону «О городском пассажирском транспорте», договорных отношений между местными властями и транспортными предприятиями. 3. РЕСУРСОСБЕРЕГАЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ НА ГОРОДСКОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТРАНСПОРТЕ 3.1. Регенерация масел Установки для регенерации отработанных масел и схемы технологического процесса Проводимые исследования кафедрой городского электрического транспорта ( ...

Система питания двигателей автобусов ПАЗ

Скачать

44550

2

13

... , что в условиях повышенных требований к защите окружающей среды и расходу топлива дизели остаются наиболее перспективными двигателями. В настоящее время в ФРГ на 14 % автомобилей установлены дизели, во Франции — на каждом третьем автомобиле, а в Австрии — на каждом втором.   2. Система питания автомобиля ПАЗ 4230   2.1 Описание конструкции, принципа работы системы и основных элементов.   ...