Нелинейные или позиционные регуляторы

2.  Нелинейные или позиционные регуляторы.

К ним относятся:

-  двухпозиционные регуляторы, у которых регулирующая величина принимает два фиксированных значения «включено – выключено»;

-  трехпозиционные регуляторы, у которых регулирующая величина принимает три фиксированных значения «включено - выключено –реверс»;

Наиболее широко распространенным является ПИД-регулятор, реализующий закон регулирования в функции от ошибки регулирования е.

, (5.4)

или в операторной форме

, (5.5)

где W_p (p) передаточная функция регулятора равная

. (5.6)

Иногда используют модифицированный закон регулирования, которому соответствует следующее выражение передаточной функции

. (5.7)

Для фильтрации высокочастотных помех возникающих в цепях управления в ПИД-регулятор дополнительно включается низкочастотный фильтр. В этом случае передаточная функция регулятора будет выглядеть

. (5.8)

ПИД-регулятор позволяет реализовать более простые законы регулирования путем исключения той или иной составляющей из закона регулирования. Дополнительно кроме ПИД-регулятора используются П - регулятор, И - регулятор ПИ - регулятор.

Широкое распространение таких регуляторов обусловлено простой схемной или программной реализацией закона регулирования, невысокой чувствительностью параметров настройки регулятора к изменению параметров объекта (грубостью или робастностью), сравнительно простой настройкой регулятора под конкретный объект. Недостатком этих регуляторов является не очень высокое качество регулирования особенно для сложных объектов имеющих в своем составе нелинейные элементы и звенья запаздывания. Более высокое качество регулирования обеспечивают регуляторы состояния, у которых закон управления представляет собой линейную функцию от переменных состояния объекта

(5.9)

В матричном виде эти уравнения запишутся

. (5.10)

В том случае если не все компоненты вектора состояния x доступны измерению, используют специальные устройства (наблюдатели состояния), позволяющие восстановить вектор состояния x по измеренному вектору регулируемых величин y.

Если замыкать обратную связь по регулируемым величинам то закон управления (5.9) преобразуется к виду аналогичному (5.5):

. (5.11)

где W_p(p) – матричная передаточная функция регулятора состояния отличная от передаточной функции ПИД-регулятора.

В отличие от ПИД-регулятора регулятор состояния применим для многомерных объектов и обеспечивает лучшее качество регулирования. Однако он сложен в настройке и не обладает свойством грубости (робастности).

Для объектов не требующих высокой точности регулирования можно использовать регуляторы по возмущению. Структурная схема подключения такого регулятора к объекту приведена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Структурная схема системы с регулятором по возмущению.

Если известны передаточные функции объекта по правлению W_u(p) и возмущению W_f(p), то передаточная функция регулятора W_p(p) находится из условия полной компенсации возмущения.

. (5.12)

Откуда . (5.13)

Недостатком регуляторов по возмущению является низкая точность регулирования, так как такой регулятор компенсирует действие на объект только контролируемых возмущений.

Достоинства обеих принципов регулирования по отклонению (ошибке) и возмущению совмещаются в комбинированных регуляторах. Рассмотрим структурную схему системы с комбинированным регулятором, компенсирующим динамическую ошибку системы, возникающую от изменения задания

Рис. 5.2. Структурная схема системы с комбинированным регулятором.

Найдем передаточную функцию W_g(p) регулятора по возмущению РВ, обеспечивающую компенсацию задания g в системе условия. Для этого запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке

. (5.14)

Откуда следует, что ошибка будет равна нулю, если W_e(p)=0, тогда

. (5.15)

Позиционные регуляторы, реализующие нелинейные законы регулирования имеют статическую характеристику релейного элемента (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Статическая характеристика позиционного регулятора.

Изменяя настройки позиционного регулятора можно получать различные законы регулирования:

-  двухпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле:

-  двухпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле с гистерезисом;

-  трехпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле: с зоной нечувствительности;

-  трехпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле: с зоной нечувствительности и гистерезисом;

Достоинством позиционных регуляторов является простота конструкции и настройки, высокое быстродействие. К недостаткам относятся невысокая точность регулирования и возможность возникновения в системе режима автоколебаний.

Проведем расчет настроек ПИД –регулятора для системы заданной структурной схемой рис. 5.4.

Рис. 5.4.

Передаточные функции регулятора W_p(p) и объекта W_o(p) имеют следующие выражения

; (5.16)

. (5.17)

Если выбрать параметры настройки регулятора из условия равенства числителя передаточной функции регулятора знаменателю передаточной функции объекта

, (5.18)

то передаточные функции разомкнутой W(p) и замкнутой W_з(p) системы примут вид

; (5.19)

, (5.20)

где постоянная времени замкнутой системы .

Характер переходных процессов в системе будет определяться корнями характеристического уравнения, которые в свою очередь зависят от его дискриминанта D

(5.21)

Проведем настройку регулятора на границе апериодического и колебательного процесса, которая достигается при D=0. Откуда следует, что

(5.22)

Из условия (5.18) вытекают следующие уравнения, связывающие параметры объекта и регулятора

(5.23)

(5.24)

Для разрешимости системы уравнений (5.22) – (5.23) дополним их условием предельно допустимого значения управления U_max при подаче на вход единичной ступенчатой функции. Значение управления на выходе регулятора найдем из условий теоремы о предельном значении передаточной функции

(5.25)

Решая систему уравнений (5.22) - (5.25) найдем неизвестные параметры настройки регулятора

(5.26)

Ниже приведен расчет настроек регулятора и показателей качества системы регулирования.

Параметры регулятора

Рис. 5.5. Функция веса объекта и системы с ПИД – регулятором

Рис. 5.6. Переходная характеристика объекта и системы с ПИД – регулятором.

Рис. 5.7. ЛАЧХ и ФЧХ объекта и разомкнутой системы с ПИД – регулятором.

Рис. 5.8. АФЧХ объекта и системы с ПИД – регулятором.

6. Разработка структурной схемы системы

 

Рис. 6.1. Структурная схема системы

Рис. 6.2. Структурная схема ПИД - регулятора.

Заключение

 

Таким образом, подводя итог работе, можно отметить, что в ходе её выполнения были определены параметры регулирования системы, включающей в себя нелинейный теплоэнергетический объект (котел для подогрева воды). Были достигнуты следующие результаты:

1.  По временным трендам с помощью программы Matlab проведена идентификация данного объекта.

2.  Построены все необходимые графики.

3.  Рассчитаны показатели качества.

Приложение

clear

% 19-20 Температура смазки dan=xlsread('opertrend');

y=dan(:,19);

u=dan(:,20);

n=length(y);

t=0:3:3*(n-1);

%Вычисление коэффициента передачи

my(1)=y(1);mu(1)=u(1);

for i=2:n

my(i)=my(i-1)+(y(i)-my(i-1))/i;

mu(i)=mu(i-1)+(u(i)-mu(i-1))/i;

ko(i)=my(i)/mu(i);

end

plot(t,ko),grid

%title ('Изменение коэффициента

передачи объекта')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('К')

pause

yc=(y-my');

uc=u-mu';

subplot(2,1,1),grid

plot(t,u),grid

title ('Centeres input signal')

ylabel ('U')

subplot(2,1,2),grid

plot(t,y),grid

title ('Centeres output signal')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Y')

pause

% Анализ сигналов объекта

du=std(u)^2;

dy=std(y)^2;

ru=xcorr(uc,'biased');

ry=xcorr(yc,'biased');

ruy=xcorr(uc,yc,'biased');

tau=-n+1:1:n-1;

subplot (3,1,1)

plot(3*tau,ru),grid

title ('Correlation functions')

ylabel ('Ruu')

subplot(3,1,2)

plot(3*tau,ry),grid

ylabel ('Ryy')

subplot(3,1,3)

plot(3*tau,ruy),grid

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Ruy')

pause

[S,f]=psd(uc,n,1/3);

subplot(2,1,1)

plot(f(1:10),S(1:10)/max(S)),grid

title ('Spectrs')

ylabel ('Suu')

[S,f]=psd(yc,n,1/3);

subplot(2,1,2)

plot(f(1:10),S(1:10)/max(S)),grid

xlabel ('Frequencies, Hz')

ylabel ('Syy')

pause

subplot(2,1,1)

hist(u,20),grid

title ('Histograms')

ylabel ('Hu')

subplot(2,1,2)

hist(y,20),grid

xlabel ('Intervals, mm')

ylabel ('Hy')

pause

subplot(1,1,1)

% RMNK

m=2;

clear Tp

P=1000*eye(2*m,2*m);

Q=zeros(2*m,1);

F=Q;

for i=1:n-m

F=[-yc(i+m-1:-1:i);uc(i+m-1:-1:i)];

ch=P*F;

zn=1+F'*P*F;

gm=ch/zn;

P=(eye(2*m)-gm*F')*P;

Q=Q+gm*(yc(m+i)-F'*Q);

kf(i,1:2*m)=Q';

Tp(i)=F'*Q;

end

% Анализ ошибки моделирования

e=yc(m+1:end)-Tp';

de=std(e);

plot(t(100:n-m),kf((100:end),:)),grid

title ('Model parametres')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Km')

pause

sr=[yc(m+1:end),Tp'];

plot(t(1:n-m),sr),grid

title ('Model and object outputs')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Y, Yм')

pause

plot (t(1:n-m),e),grid

title ('Model error')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Em')

pause

re=xcorr(e,'biased');

plot(3*tau,ru),grid

title ('Error correlation function')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Ree')

pause

[S,f]=psd(e,n,1/3);

plot(f,S/max(S)),grid

title ('Error spector')

xlabel ('Frequncy, Hz')

ylabel ('Suu')

pause

hist(e,20),grid

title ('Error histogram')

xlabel ('Interval, mm')

ylabel ('Hu')

pause

% Модели объекта

nun=[kf(end,m+1:2*m) 0];

den=[1 kf(end,1:m)];

wod=tf(nun,den,3)

[z,p,k]=zpkdata(wod,'v')

if abs(p(1)-1)<.05

p(1)=1;

end

wodf=zpk(z,p,k,3)

wo=d2c(wodf)

sm=ss(wo)

impulse(wo),grid

pause

step(wo,wodf),grid

pause

bode(wo),grid

pause

nyquist(wo),grid

pause

wonz=zpk(wo)

ym=lsim(wo,uc,t);

f=yc-ym;

%Wc=gram(sm,'c')

%Wo=gram(sm,'o')

K=lqry(sm,100000000,1)

[A,B,C,D]=ssdata(sm);

P=ss(A,[B B],C,[D D]);

Kest=kalman(P,du,0.01)

G=lqgreg(Kest,K);

clsm=feedback(sm,G,+1);

q1=tf(Kest);

q2=tf(G);

impulse(sm,'r-',clsm,'b-'),grid

pause

step(sm,'r-',clsm,'b-'),grid

pause

bode (sm,'r-',clsm,'b-'),grid

pause

nyquist(sm,'r-',clsm,'b-'),grid

save('f','f')

save('wo','wo')

Литература

1. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем. – М.: Наука, 1989.

2. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т1: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / под ред Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им Баумана, 2000. – 736 с.

3. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа. 1988 (Дополнительная).

4. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. – М: Высшая школа . 1986.

5. Изерман Р. Цифровые системы управления / Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 541 с.

6. Кашьян Р. Л., Рао А. Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. – М: Мир, 1983. 384 с.

7. Ивахненко А. Г., Юрачковский Ю. Г. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. - М.: Радио и связь, 1987. - 120 с.

8. Кендал М. Временные ряды. – М.: Радио и связь, 1981. – 198 с.