Показательные уравнения

1.3 Показательные уравнения

Приведем пример задания, решить которое без введения тригонометрической подстановки не представляется возможным.

Пример 1. Решить уравнение .

Пусть , тогда уравнение перепишется в виде

.

Введем замену , получим

.

Это уравнение мы уже решали[1]. Его корни

.

Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только . Перейдем к переменной , а затем к переменной

.

Ответ: .

§2. Решение систем

В данном параграфе предложены системы повышенной сложности, решить которые, не зная специальных методов решения, сложно.

Пример 1. Решить систему уравнений

 [3].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как квадрат суммы чисел  и равен единице, то каждое из этих чисел по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно положить  Второе уравнение системы примет вид

.

Условию  удовлетворяют четыре значения

.

.

.

.

 .

Ответ: ; ; ; .

Алгебраическое решение

.

Пусть , тогда . Имеем

.

Подберем  так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть

.

Подбором находим, что  является корнем уравнения

.

Подставим  в уравнение , после чего оно примет вид

.

Перейдем к переменной

Подставив получившиеся значения переменной  во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения переменной

Ответ: ; ; ; .

Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений

[18].

Здесь представлена так называемая циклическая система уравнений. Подобные системы часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике [30]. Решить эти системы, не зная специальных методов решения, очень сложно. В данном случае подбором устанавливается решение . Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.

Перепишем систему в виде

.

Докажем, что все числа  по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть  – максимальное из чисел  и , то . Пришли к противоречию. Если число  – минимальное и , то . Опять пришли к противоречию. Итак .

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим . Тогда , , . Число решений исходной системы равно числу решений уравнения

.

Условию  удовлетворяет 27 решений

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

Выразим переменную

.

Выяснить количество корней полученного уравнения с помощью производной или другим способом чрезвычайно трудно, поэтому в данном случае самый эффективный способ решение – решение с помощью тригонометрической подстановки.

§3. Доказательство неравенств

Как правило, навыки решения и доказательства неравенств, за исключением квадратичных, формируются на более низком уровне, чем уравнений. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Тем не менее, многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений. В том числе, к доказательству неравенств применим метод замены переменной. При этом замена переменных, входящих в неравенство, с одной стороны, сокращает число переменных, а с другой, позволяет привести неравенство к виду, более удобному для исследования его свойств.

Пример 1. Доказать, что  [43].

При  неравенство верное.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Для любых  найдется угол , что . Исходное неравенство примет вид

.

Так как , то . Умножим обе части неравенства на , получим

.

Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.

Алгебраическое решение

Выполним решение с помощью тождественных преобразований. Для этого рассмотрим разность

.

Оба решения по простоте реализации не уступают друг другу. Решение с помощью тригонометрической подстановки может быть дано как один из возможных способов решения.

Пример 2. Известно, что . Доказать, что  [9].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как сумма квадратов  и  равна единице, то каждое из чисел  и  по абсолютной величине не превосходит единицы, и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому законна подстановка

.

Аналогично . Доказываемое неравенство запишется в виде

.

Алгебраическое решение

Алгебраическое решение в данном случае будет состоять в возведении обеих частей неравенства в квадрат и выполнении тождественных преобразований.

.

Обычно неравенство  при заданных условиях доказывается, когда изучаются приложения комплексных чисел. Но еще до изучения комплексных чисел оно может быть рассмотрено с учащимися, причем доказательство с помощью тригонометрической подстановки довольно компактно. Единственное, на что в данном случае следует обратить внимание учащихся – полное обоснование введения подстановки.

§4 Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Задачи, связанные с поиском наибольшего и наименьшего значений функции, неспроста пользуются большой популярностью у составителей экзаменационных заданий: чтобы решить подобную задачу, приходится комбинировать приемы и методы из весьма различных разделов школьного курса математики. Первое, что приходит в голову при решении подобных задач, – исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. Но у такого подхода есть недостаток: во многих задачах вступительных экзаменов в вузы с повышенными требованиями по математике этот привычный путь решения сопряжен со значительными техническими трудностями. В условиях конкурса этот недостаток особенно ощутим. Часто, однако, удается избавиться от громоздких выкладок, применяя понятия и навыки из других разделов школьного курса математики. Например, из тригонометрии.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения  в области

 [25].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Уравнение  преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: . Следовательно, каждое из выражений  и  по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Положим . Выразим  через одну величину :

.

Ответ: наибольшее значение равно , наименьшее значение равно .

Алгебраическое решение

Уравнение  преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: . Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения  в точках окружности , то есть окружности с центром в точке  и радиусом . Пусть в точке с координатами  выражение  принимает наибольшее значение, тогда справедлива система

.

Так как ищем наибольшее значение выражения , то выбираем

.

.

Тогда наибольшее значение выражения  равно

.

Аналогично находим, что наименьшее значение выражения  равно

.

Ответ: наибольшее значение равно , наименьшее значение равно .

Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения , если  [24].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Уравнение  преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов:

.

Имеем, что сумма квадратов  и  равна единице, поэтому каждое из этих выражений по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Вот почему можно положить . Выразим сумму квадратов  через одну величину :

.

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение .

Алгебраическое решение

Иногда уравнения с параметрами возникают при решении задач, казалось бы, не имеющих к ним никакого отношения. Если требуется найти, например, наименьшее значение функции , ответ можно получить, если найти множество всех ее значений. Хотя это и более общая задача, но ее решение оказывается более простым. Причем число  будет значением функции  тогда и только тогда, когда уравнение  имеет хотя бы один корень. Поэтому требуется найти все такие значения параметра  и среди них выбрать наименьшее число. Это число и будет наименьшим значением функции  [37]. Реализуем сказанное для решения данной задачи другим способом.

Перейдем к системе

,

то есть выясним, при каких значениях параметра  система имеет решения. Умножим второе уравнение на  и вычтем полученное уравнение из первого.

.

Получили однородное уравнение относительно переменных  и . Проверкой устанавливается, что при  система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на

.

Чтобы это уравнение имело решения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.

.

Итак, данная система равносильна системе

.

Покажем, что при  система имеет решения. Пусть  - корень первого уравнения, тогда  подставим во второе уравнение

.

Обратим внимание на то, что в промежутке  только положительные числа, значит, полученное уравнение имеет решения. Соответственно, имеет решение и вся система. Промежуток  и есть множество значений, принимаемых выражением  при условии, что

.

В данном случае решение с помощью тригонометрической подстановки проще как в техническом, так и в идейном смысле. Не зная заранее идеи второго способа, трудно догадаться свести задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений выражения к решению системы с параметром.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения, если  [16].

Как в предыдущем примере, в этом случае самый удобный подход – тригонометрическая подстановка. Решение системы, состоящей из двух неравенств и одного уравнения с параметром, довольно сложно.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим . Геометрический смысл такой замены: для каждой точки  кольца  определяются расстояние  до начала координат и угол наклона вектора  к положительному направлению оси абсцисс. Тогда неравенство  будет выполнено при . Произведем замену в данном выражении

=.

Так как множество значений выражения  – это отрезок , то множество значений выражения  – отрезок.

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение 3.

Пример 4. Среди всех решений системы

 [42].

Найдите такие, при которых выражение  принимает наибольшее значение.

Перепишем систему в виде

Так как сумма квадратов чисел  и  рана единице, то каждое из них по абсолютной величине не превосходит единицы, поэтому их можно рассматривать как синус и косинус некоторого аргумента. Вот почему будет законна подстановка . Аналогично обосновывается введение замены . Тогда неравенство системы перепишется в виде

.

Запишем выражение  в виде

.

Наибольшее значение выражения  достигается тогда и только тогда, когда

Найдем

.

.

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

Перепишем исходную систему в виде

.

Сложим равенства полученной системы

.

Сравним левые и правые части получившегося равенства и неравенства системы, получим

.

Рассмотрим квадрат выражения

.

Наибольшее значение выражения , а значит, наибольшее значение выражения  имеет место тогда и только тогда, когда , то есть . Можно записать

.

Подставим полученное выражение  в первое уравнение исходной системы и найдем

.

Так как необходимо найти наибольшее значение выражения  и  и  имеют одинаковый знак, то выбираем

.

.

Так как , то .

.

Ответ: .

Здесь решение с помощью тригонометрической подстановки компактнее, быстрее приводит к результату. Единственный и важный момент, на который следует указать учащимся, является необходимость обоснования введения тригонометрической подстановки. Тот факт, что, например,  и  по модулю не превосходят единицы, можно проиллюстрировать графически. Уравнение  задает окружность с центром в начале координат и радиуса 2.

Из рисунка видно, что  и  принимают значения из отрезка , тогда  и  изменяются на отрезке .

 

§5. Решение задач с параметрами

Решение задач с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание учеником материала. Поэтому, например, на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ.

Пример 1. Решите и исследуйте уравнение

[45].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как  , то , поэтому положим . Уравнение примет вид

.

Если , то данное уравнение корней не имеет.

Пусть . Так как , то . При этих значениях  имеем

.

То есть для того чтобы уравнение имело корни необходимо и достаточно, чтобы

.

Значит, если , то данное уравнение корней не имеет.

Пусть , то есть . Отсюда . Тогда данное уравнение имеет один корень

.

Если , то исходное уравнение имеет два корня

.

,.

Ответ: Если  или , то данное уравнение корней не имеет.

Если , то уравнение имеет единственный корень .

Если , то уравнение имеет два корня .

Алгебраическое решение

.

Пусть . Выясним, при каких значениях  выполняется неравенство , то есть решим неравенство

.

Пусть , тогда рассмотрим неравенство

.

Ответ: Если  или , то данное уравнение корней не имеет.

Если , то уравнение имеет единственный корень .

Если , то уравнение имеет два корня .

В данном случае оба решения равноценны, можно решать любым способом. Зато уже в следующем примере решение с помощью тригонометрической подстановки проще.

Пример 2. При каких а неравенство

имеет решение [13].

Неравенство  имеет решение при а большем наименьшего значения выражения .

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим , тогда

, где .

Оценим выражение

.

Наименьшее значение выражения равно . Значит, при  неравенство имеет решение.

Ответ: при  неравенство имеет решение.

Алгебраическое решение

Если , то неравенство примет вид

.

Значит, при  неравенство имеет решение.

Поделим числитель и знаменатель на , получим

.

Введем замену , тогда

.

Найдем наименьшее значение выражения .

.

То есть наименьшее значение выражения  равно . Тогда наименьшее значение выражения , а значит наименьшее значение выражения  равно .

Ответ: при  неравенство имеет решение.

Для данного задания самый удобный метод решения – решение с помощью тригонометрической подстановки. Во втором случае возникает проблема с тем, чтобы найти наименьшее значение выражения . Если учащиеся умеют находить наименьшее значение функции с помощью производной, то выполнив все вычисления и проведя исследование, они справятся с задачей. Если подобное задание решать до изучения производной, то могут возникнуть трудности с определением наименьшего значения. В работе предложен прием сведения к уравнению с параметром, подробно описанный в предыдущем параграфе.

Глава 3

Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач»

на факультативных занятиях по математике

Одной из задач дипломной работы является опытное испытание эффективности разработанной методики изучения тригонометрической подстановки как метода решения алгебраических уравнений, неравенств, их систем, а также задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Это испытание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдения, диагностирующих контрольных работ и других.

Тригонометрическая подстановка как метод решения алгебраических задач рассматривается в курсе математики для классов с углубленным изучением предмета в плане ознакомления [57]. Но в силу значимости материала для развития творческих способностей учащихся и освоения ими эффективного приема и метода решения сложных конкурсных заданий целесообразно организовать более детальную работу с тригонометрической подстановкой. Поэтому возникает необходимость в разработке и проведении факультативных занятий, посвященных данной теме.

Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» было осуществлено в 2005 году в 10 «Б» классе Физико-математического лицея. Цели опытного преподавания: исследование возможности введения на факультативных занятиях в классы с углубленным изучением математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы:

1.  Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики.

2.  Проведение разработанного факультативного курса.

3.  Проведение диагностирующей контрольной работы.

4.  Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.

5.  Анализ полученных результатов опытной работы.

Этап 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» » с учащимися классов с углубленным изучением математики.

Факультативный курс был разработан на основе сравнительного анализа решения большого числа задач традиционным способом и с помощью тригонометрической подстановки. Данный курс состоит из пяти занятий, которые желательно провести в 10 классе сразу после изучения тригонометрии или в 11 классе в связи с подготовкой учащихся к итоговой аттестации и поступлению в вузы. В процессе разработки и проведения факультативных занятий были поставлены следующие цели:

1.  Продолжить изучение тригонометрической подстановки, но уже на факультативных занятиях.

2.  Углубить знания о методах решения алгебраических задач.

3.  Показать применение различных методов решения.

4.  Провести сравнительный анализ этих решений.

5.  Способствовать формированию у учащихся умения видеть рациональный метод решения математических задач и обосновывать его применение.

6.  Показать, как аппарат тригонометрии может быть применен для решения задач алгебры, усилить связи между алгеброй и тригонометрией.

7.  Развитие логического мышления.

8.  Формирование настойчивости, целеустремленности и трудолюбия через решение сложных конкурсных задач.

Этап 2. Проведение разработанного факультативного курса.

Разработанные занятия проводились один раз в неделю. Всего было проведено 5 занятий. Ниже предлагается разработка одного занятия. С разработками остальных занятий можно ознакомиться в приложении к работе.

Занятие №2.

Тема: применение тригонометрической подстановки при решении уравнений.

Цель:

1.  Продолжить изучение применения тригонометрической подстановки для решения иррациональных уравнений в случае, когда переменная  может принимать любые действительные значения.

2.  Выявить виды рациональных уравнений, для решения которых применяется тригонометрическая подстановка.

3.  Провести сравнительный анализ решения рациональных уравнений с помощью тригонометрической подстановки и без нее, выбрать наиболее рациональный метод решения.

4.  Рассмотреть применение тригонометрической подстановки как одного из способов решения задач с параметрами.

Содержание:

1.  Решить уравнение .

Перед началом решения задачи желательно обсудить с учащимися, какие возможные значения может принимать переменная  и чем данное иррациональное уравнение отличается от ранее решенных уравнений. Целесообразно, чтобы при решении данного уравнения класс был разделен на три группы: учащиеся, которые решают с помощью тригонометрической подстановки, с помощью замены  и возведением в квадрат. Решение задачи завершается тем, что заслушивается решение каждым способом, после чего происходит обсуждение сильных и слабых сторон каждого метода решения.

Перед тем, как приступить к рассмотрению рациональных уравнений, желательно вспомнить с учащимися, какие проблемы возникают при решении рациональных уравнений. Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что решение этих заданий следует начинать с исследования того, какие значения может принять переменная  с целью обоснования возможности введения тригонометрической подстановки. В первом примере желательно все необходимые рассуждения провести вместе с классом.

2.  Выяснить, сколько корней имеет уравнение .

Организовать работу с данным уравнением можно как в предыдущем случае, разделив класс на две группы, решающих алгебраическим способом и с помощью тригонометрической подстановки. После чего целесообразно организовать сравнительный анализ обоих способов решения.

3.  Решить уравнение .