Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

4.  Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

.

На этом примере желательно дать учащимся еще один способ решения задач с параметрами – с помощью тригонометрической подстановки и обсудить, как по структуре уравнения с параметром можно понять, что метод тригонометрической подстановки можно применить к данному уравнению.

Домашнее задание:

1.  Решить уравнение .

2.  Выяснить, сколько корней имеет уравнение .

Литература: [3], [4], [12], [13], [23]-[25], [37]-[40], [45], [55]-[57].

Этап 3. Проведение диагностирующей контрольной работы.

Диагностирующая контрольная работа была организована после проведения всех занятий, предусмотренных факультативом, и заняла 1 урок. Учащимся было предложено для обязательного решения 3 задачи и одно задание было вынесено на дополнительную оценку. При этом школьникам была предоставлена возможность самостоятельно выбрать метод решения каждой задачи. Цели контрольной работы:

1.  Выявить степень усвоения учащимися материала.

2.  Определить понимание необходимости обоснования введения тригонометрической подстановки.

3.  Сравнить эффективность решения с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

4.  Выявить тот материал и те задания, которые вызывают наибольшие затруднения у учащихся.

План:

1.  Организация учащихся на выполнение контрольной работы.

2.  Выполнение работы по двум вариантам.

Содержание:

I Вариант

1.  Решить уравнение

2.  Найти наибольшее и наименьшее значения выражения  в области .

3.  Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение

.

4.  Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

.

II Вариант

1.  Решить уравнение .

2.  Найти наибольшее и наименьшее значения выражения  в области .

3.  Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение

.

4.  Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра

.

Оценивание: Правильно выполненное и аргументированное решение оценивалось знаком «+». Правильно выполненное решение с частичным обоснованием введения тригонометрической подстановки – знаком «». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки, но с указанием промежутка изменения  – знаком «*». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки и без указания промежутка изменения  – знаком «». Решение с ошибками – знаком «». Отсутствие решения – знаком «–». Буква «д» рядом с одним из указанных выше знаков означает, что учащийся решал задание, не прибегая к тригонометрической подстановке. Буква «к» - учащийся в решении комбинирует тригонометрическую подстановку с другим способом решения. Буква «с» - учащийся представил два решения: с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

Результаты: контрольная работа была написана 21 учеником класса из 22. Начнем с разбора обязательной части контрольной работы.

Первое задание – решение иррационального уравнения – все учащиеся выполнили с помощью тригонометрической подстановки, причем во всех работах было представлено полное обоснование возможности введения этой подстановки. В восьми работах решение оказалось с ошибками. Все учащиеся, использовавшие подстановку , где , допустили ошибки. Это было связано с тем, что в результате преобразований исходного уравнения в правой части получалась формула синуса тройного аргумента с отрицательным знаком, который был утерян. Потерю знака удалось избежать тем учащимся, которые выбрали подстановку , где . Ошибки в решении при такой подстановке были связаны с неверным отбором корней.

Второе и третье задания были посвящены нахождению наибольшего и наименьшего значений функции.

Второе задание всеми учащимися было решено верно, при этом в качестве метода решения был выбран метод тригонометрической подстановки. Но в отличие от решения первого задания, во втором только двое учащихся дали аргументированное решение с полным обоснованием возможности введения тригонометрической подстановки. В одной работе эта возможность не получила достаточно полного обоснования. Остальные восемнадцать учащихся приступили к решению без доказательства возможности введения замены, причем из них только один верно указал, что .

К решению третьего задания приступили двадцать учащихся из двадцати одного. Из них трое решали алгебраическим способом и полностью справились с решением. Один ученик начал решение алгебраическим способом, получил промежуточный результат, который использовал при решении с помощью тригонометрической подстановки, но все решение не было доведено до конца. Шестнадцать учащихся применили метод тригонометрической подстановки для решения, но ни в одной из этих работ не было обоснования введения этой подстановки, и только четверо указали, что . Из шестнадцати работ шесть содержат ошибки. В трех решение было завершено после того, как было найдено наибольшее значение выражения, в то время как задание состояло в том, чтобы найти такие решения системы, при которых данное выражение принимает наибольшее значение. В остальных трех работах были допущены вычислительные ошибки.

Перейдем к разбору дополнительного задания. Оно содержало уравнение с параметром, для которого требовалось исследовать количество решений в зависимости от параметра. Из двадцати одного ученика к заданию на дополнительную оценку приступили двадцать человек, из них половина верно справилась с ним. Семеро из верно решивших учащихся опирались на графическую иллюстрацию, трое – использовали алгебраический подход. Из не решивших десяти человек семеро привели исходное уравнение с помощью тригонометрической подстановки к виду  и продолжили решение для . Они не учли, что аргумент правой части равенства . Трое не рассмотрели все возможные случаи.

Этап 3. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.

Домашняя контрольная работа была проведена после завершающего четвертого занятия перед написанием итоговой контрольной работы.

Содержание:

1.  Решите уравнение .

2.  Решите уравнение .

3.  Решите уравнение .

4.  Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения  в области .

Результаты:

Первые три задания были посвящены решению иррациональных уравнений. Причем решить первое уравнение было рекомендовано двумя способами: с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Это было сделано с той целью, чтобы показать учащимся: не всегда введение тригонометрической подстановки упрощает решение. Иногда применение стандартного метода для решения задач оказывается более эффективным. Таким образом, уравнение было призвано обратить внимание учащихся не необходимость обдуманного введения тригонометрической подстановки. Пример не вызвал серьезных затруднений, из восемнадцати работ только в одной были ошибки. Как правило, для решения учащиеся выбирали и обосновывали подстановку

.

Одним учащимся был предложен другой вариант тригонометрической подстановки

,

но само решение оказалось более громоздким.

Со вторым заданием справились все учащиеся.

В третьем задании ошибки возникли у трех учащихся из восемнадцати и были связаны с неверным отбором корней.

Вновь наибольшие затруднения вызвало задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Даже среди тех, кто получил верный ответ, немногие обосновали введение тригонометрической подстановки.

Этап 4. Анализ полученных результатов опытной работы.

Результаты контрольной и домашней контрольной работ можно представить в виде диаграмм.

Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку

В основном в качестве метода решения предложенных алгебраических задач учащиеся выбирали метод тригонометрической подстановки. Другим способом решали, если задание состояло в том, чтобы найти наибольшее значение выражения при заданных в системе условиях (как в контрольной работе) или если было рекомендовано решать другим способом (как в домашней контрольной работе).

Процент учащихся, верно справившихся с заданиями

Из диаграмм видно, что наибольшие затруднения вызывали у учащихся задания двух типов. Во – первых, задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Во – вторых, иррациональные уравнения, область допустимых значений которых можно представить неравенством , где . А вот иррациональные уравнения, область допустимых значений которых определяется неравенством , традиционно решаются лучше.

Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки

Во всех заданиях, где учащимся было предложено решить иррациональное уравнение, тригонометрическая подстановка была обоснована. Хуже обстояло дело с обоснованием введения тригонометрической подстановки, если речь шла о двух переменных. В этом случае учащиеся, как правило, приступали к решению, доводили его до верного ответа, но не обосновывали законность произведенной замены.

Так как только в двух случаях (в одном задании из контрольной и в одном задании из домашней контрольной работы) учащиеся предложили другое решение без использования тригонометрической подстановки

Сравним процент учащихся, решивших верно с помощью тригонометрической подстановки и без нее

Решение более привычным и отработанным способом для учащихся оказалось эффективнее, чем с помощью введения тригонометрической подстановки. И это не удивительно. Тема «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» является довольно сложной, речь идет о ее рассмотрении на факультативных занятиях только в классах с углубленным изучением математики. Пять факультативных занятий для того чтобы учащиеся овладели этим методом, безусловно, мало, о чем свидетельствуют результаты. Но ввиду того, что применение тригонометрической подстановки может оказать существенную помощь в решении некоторых классов задач (например, иррациональных уравнений, задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и других), желательно продолжить работу с учащимися над овладением этим методом и вернуться к нему в конце 11 класса. В пользу этого говорит еще и тот факт, что при решении предложенных задач учащиеся выбирали именно этот способ решения для получения ответа. Особенно удачно учащиеся использовали замену при решении иррациональных уравнений, видели возможность введения тригонометрической подстановки и обосновывали это введение. Сама замена стала интересной для учащихся не только тем, что позволила решить непростые конкурсные примеры, но и указала на связь между алгеброй и тригонометрией, показала, что введение тригонометрической подстановки не только не усложняет решение, а в некоторых случаях существенно упрощает его, тем самым повышая значимость самой тригонометрии в глазах учащихся.

При проведении исследования были поставлены и решены следующие задачи:

Похожие работы

Решение алгебраического уравнения n-ой степени

Скачать

43593

0

0

... решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с ...

Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

Скачать

73526

4

6

... комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями ...

Лекции по ТОЭ

Скачать

352659

353

269

... для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2, 1 и 5 Ответ: B= Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9).  Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел. Переменный ток долгое время не находил практического ...

Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа

Скачать

89437

1

28

... сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1.  Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике; 2.  Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений; 3.  Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения ...