Гипергеометрическое уравнение

Министерство образования РФ

Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н.Толстого

кафедра математического анализа

Курсовая работа по математике

"Гипергеометрическое уравнение"

Выполнила:

студентка ф-та МиМ,

группы 3В,

Куркова Д.Н.

Проверила:

Исаева Г.Р.

Тула-2006

Содержание

Введение

1.  Гипергеометрическое уравнение

1.1 Определение гипергеометрического ряда. Гипергеометрическая функция

1.2 Свойства гипергеометрической функции

1.3 Гипергеометрическое уравнение

2.  Представление функций через гипергеометрическую

3.  Вырожденная функция

4.  Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода

5.  Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции

Литература

Введение

В связи с широким развитием численных методов и возрастанием роли численного эксперимента в большой степени повысился интерес к специальным функциям. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического явления для выяснения относительной роли отдельных эффектов исходную задачу часто приходится упрощать для того, чтобы можно было получить решение в легко анализируемой аналитической форме. Во-вторых, при решении сложных задач на ЭВМ удобно использовать упрощенные задачи для выбора надежных и экономичных вычислительных алгоритмов. Очень редко при этом можно ограничиться задачами, приводящими к элементарным функциям. Кроме того, знание специальных функций необходимо для понимания многих важных вопросов теоретической и практической физики.

Наиболее часто употребляемыми функциями являются так называемые специальные функции математической физики: классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра, Эрмита), цилиндрические, сферические и гипергеометрические. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд исследований. Гипергеометрические функции применяются в различных разделах математического анализа, в частности, при решении дифференциальных уравнений и при рассмотрении других специальных функций. С помощью гипергеометрических функций выражаются не только сферические, эллиптические, но и ряд других, в том числе и элементарные функции. В работе рассматриваются определение гипергеометрического ряда и гипергеометрической функции, доказывается, и выводятся некоторые элементарные свойства гипергеометрической функции, функциональные и специальные функциональные соотношения, представление различных функций через гипергеометрическую, вырожденная функция 1 и 2 рода, дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции и его интегралы, представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции.

1. Гипергеометрическое уравнение

1.1 Определение гипергеометрического ряда

Гипергеометрическим рядом называется степенной ряд вида

,

где z – комплексная переменная, , ,  - параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения (0,-1,-2,…), и символ  обозначает величину = =1

Если  и  – нуль или целое отрицательное число, ряд обрывается на конечном числе членов, и сумма его представляет собой полином относительно z. За исключением этого случая, радиус сходимости гипергеометрического ряда равняется единице, в чем легко убедиться с помощью признака сходимости Даламбера: полагая

z^k

имеем

=,

когда k, поэтому гипергеометрический ряд сходится при <1 и расходится при >1.

Сумма ряда

F(, , ,z) = , <1 (1.1)

называется гипергеометрической функцией.

Данное определение гипергеометрической функции пригодно лишь для значений z, принадлежащих кругу сходимости, однако в дальнейшем будет показано, что существует функция комплексного переменного z, регулярная в плоскости с разрезом (1, ) которая при <1 совпадает с F(, , ,z). Эта функция является аналитическим продолжением F(, , ,z) в разрезанную плоскость и обозначается тем же символом.

Чтобы выполнить аналитическое продолжение предположим сначала что R()>R()>0 и воспользуемся интегральным представлением

 (1.2)

k=0,1,2,..

Подставляя (1.2) в (1.1) находим

F(, , ,z) = = =,

причем законность изменения порядка интегрирования и суммирования вытекает из абсолютной сходимости.

Действительно, при R()>R() >0 и <1

=

= F(, R(),R(),)

На основании известного биноминального разложения

=(1-tz)^-a(1.3)

0t1,<1

поэтому для F(, , ,z) получается представление

F(, , ,z)=  (1.4)

R()>R() >0 и <1

Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства сохраняет смысл и представляет регулярную функцию комплексного переменного z в плоскости с разрезом (1, ).

Для z принадлежащих области ,  (R – произвольно большое,  и  произвольно малые положительные числа), и 0 < t < 1 подынтегральное выражение есть регулярная функция z и непрерывная функция t ; поэтому достаточно показать что интеграл сходится равномерно в рассматриваемой области. Доказательство следует из оценки

(М – верхняя граница модуля функции (1-tz)^-a, непрерывной в замкнутой области , , 0t 1), которая показывает, сходимость интеграла будет мажорированной, то есть при R()>R() >0 интеграл  сходится.

Таким образом, условие <1 в (1.4) может быть отброшено, и искомое аналитическое продолжение гипергеометрической функции в разрезанную плоскость дается формулой

F(, , ,z)=  (1.5)

R()>R() >0;

В общем случае, когда параметры имеют произвольные значения, аналитическое продолжение F(, , ,z) плоскость с размером (1, ) может быть получено в форме контурного интеграла, к которому приводит суммирование ряда (1.1) с помощью теории вычетов.

Более элементарный метод продолжения, не дающий, однако, возможность получить в явной форме общее аналитическое выражение гипергеометрической функции, заключается в использовании рекуррентного соотношения (1.6)

 F(, , ,z) =  +

справедливость которого может быть установлена подстановкой в него ряда (1.1). После подстановки и приведения подобных членов коэффициент при z^kв правой части (1.6) будет

+-  = ={--}= =(

Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F(, , ,z) с произвольными параметрами (0,-1,-2,…) в виде суммы

F(, , ,z)= F(+s, +p, +2p, z) (1.7)

где р – целое положительное число  (, , ,z) – полином относительно z. Если выбрать число р достаточно большим, так, чтобы R()>-p и R(-)>-p, то аналитическое продолжение каждой из функций F(+s, +p, +2p, z) может быть выполнено по формуле (1.5). Подставляя полученные выражения в (1.7) получим функцию, регулярную в плоскости с разрезом (1, ), которая при <1 совпадает с суммой гипергеометрического ряда (1.1) и, следовательно, является искомым аналитическим продолжением.

Гипергеометрическая функция F(, , ,z) играет важную роль в анализе и его приложениях. Введение этой функции дает возможность получить решение многих интересных проблем теоретического и прикладного характера, к которым, в частности, относится задача конформного отображения треугольника, ограниченного пересекающимися прямыми или дугами окружностей, различные задачи квантовой механики и так далее.

Большое число специальных функций может быть выражено через функцию F(, , ,z), что позволяет рассматривать теорию этих функций как соответствующие специальные случаи общей теории, данной в настоящем пункте.