Вырожденная гипергеометрическая функция

3. Вырожденная гипергеометрическая функция

Наряду с гипергеометрической функцией F(,,,z), важную роль в теории специальных функций играет так называемая вырожденная гипергеометрическая функция F(, ,z).

Чтобы определить эту функцию, заметим, что степенной ряд

,

где z – комплексное переменное, и - параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения, исключая =0,-1,-2,… и символ  обозначает величину

= =1

сходится при любых конечных z.

Так как, если обозначить через  общий член ряда, то

=0, когда k.

Вырожденная гипергеометрическая функция F(, ,z) определяется как сумма рассматриваемого ряда

F(, ,z)= , 0,-1,-2,…, < (4.1)

Из данного определения вытекает, что F(, ,z) функция комплексного переменного z.

Если положить

f(, ,z)=  F(, ,z)= , (4.2)

то f(, ,z) при фиксированном z будет целой функцией от  и . Действительно, члены ряда (6.2) являются целыми функциями этих переменных, и ряд сходится равномерно в области <A, <C.

Полагая , имеем для достаточно больших k

=

Отсюда следует, что при заданном z функция F(, ,z)

представляет целую функцию  и мероморфную функцию  с простыми полюсами в точках =0,-1,-2,…

Функция F(,,z) весьма часто встречается в анализе, причем главное ее значение состоит в том, что многие специальные функции могут рассматриваться как ее частные случаи, что в значительной мере облегчает построение теории этих функций и придает ей общий и компактный характер.

Связь функции F(,,z) с гипергеометрической функцией дается соотношением

F(,,z)=lim F(,,,). (4.3)

Из определения вырожденной гипергеометрической функции непосредственно вытекают равенства

 F(,,z)=  F(+1,+1,z) (4.4)

 F(,,z)=  F(+m,+m,z) m=1,2,... (4.5)

и рекуррентные соотношения

(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=0 (4.6)

F-F( -1)-zF(+1)=0 (4.7)

(-1+z)F+(-)F(-1)-( -1)F(-1)=0 (4.8)

(+z)F-F(+1)-( - )zF(+1)=0 (4.9)

(-)F(-1)+(2-+z)F-F(+1)=0 (4.10)

(-1)F(-1)- (-1+z)F+(-)zF(+1)=0 (4.11)

связывающие функцию F F(,,z) с двумя любыми смежными функциями

F(1)  F(1,,z) и F( 1)  F(,1,z)

Формулы (4.6) и (4.7) доказываются путем подстановки ряда (4.1) остальные рекуррентные соотношения получаются из них в результате простых алгебраических операций.

(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=

={(--1) + -(-1) }z^k=

={--1+(+k)- (+k-1)} z^k=

= {--1++k- -k+1)} z^k=0

F-F( -1)-zF(+1)=

={--} z^k=

={(+k-1)-( -1)-k} z^k=

= {+k----k} z^k=0.

Повторное применение рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию F(,,z) с родственными функциями F(+m,+n,z), где m,n- заданные целые числа. Примерами подобных соотношений могут служить равенства:

F(,,z) = F(+1,,z)- F(+1,+1,z) (4.12)

F(,,z)= F(,+1,z) + F(+1,+1,z) (4.13)

4. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода

Покажем, что вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением дифференциального уравнения

z +(-z) - u=0, (5.1)

где 0,-1,-2,…

u= F(,,z)=  z^k

=z^k-1

=z^k-2

Действительно, обозначая левую часть уравнения l(u) и пологая u= = F(,,z), имеем

l() = z^k-2+(-z) z^k-1-  z^k=

=[-]+ [k+-k-]0.

Чтобы получить второе линейное независимое решение рассматриваемого уравнения, предположим, что , и выполним подстановку  .

Уравнение (5.1) преобразуется тогда в уравнение того же вида

z +(-z) -=0

с новыми значениями параметров =1+, =2-. Отсюда следует, что при 2,3,… функция также является решением уравнения (5.1).

Если 0, 1, 2,… оба решение () имеют смысл и линейно независимы между собой, поэтому общий интеграл уравнения (5.1) может быть представлен в виде

u= F(,,z)+B F(1+-,2-,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме =0,-1,-2,…), удобнл ввести вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода

G,,z)= F(,,z)+  F(1+-,2-,z) (5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) определяет функцию G,,z) для любых , отличных от целого числа. Покажем, что при n+1 (n=0,1,2,…) правая часть (5.3) стремиться к определенному пределу. Для доказательства заменим гипергеометрические функции соответствующими рядами и воспользуемся соотношением теории Г-функции. Тогда получим (5.4)

G,,z)= [-]=

=()

Мы имеем

 ==

n=0,1,2,…

===

=,

поэтому выражение в правой части (5.4) при n+1 принимает неопределенный вид и стремится к пределу, значение которого может быть найдено по правилу Лопиталя. В соответствии с этим результатом положим

G(,,z)=  G,,z)= (-1)ⁿ⁺¹[] (5.5)

n=0,1,2,…

Выполнив вычисления, находим:

=[],

=[]+

+,

откуда для G(,n+1,z) получается явное выражение в форме ряда (5.6)

G(,n+1,z)= []+

+ ,

n=0,1,2,… ,  0,-1,-2,… ,

Здесь - логарифмическая производная Г-функция, и для случая n=0 пустая сумма принимается равной 0.

Если =-m (m=0,1,2,…), то предельный переход n+1 (n=0,1,2…) в формуле (5.3) приводит к выражению

G(-m,n+1,z)=  F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,… , n=0,1,2,…

Из (5.3) непосредственно следует, что вырожденная гипергеометрическая функция второго рода удовлетворяет функциональному соотношению

G(,,z)= G(-+1,2-,z),  (5.8)

На основании этой формулы можно определить функцию G(,,z) при , равному нулю или целому отрицательному числу, при помощи равенства

G(,1-n,z)=  G(,,z)= zⁿG(+n,n+1,z) (5.9)

n=1,2,… ,

Таким образом, функция имеет смысл при любых значениях ее параметров. Из донного определения вытекает, что G(,,z) регулярная функция от z в плоскости с разрезом (-,0) и целая функция  и .

Покажем, что функция G(,,z) является решением дифференциального уравнения (5.1).

При 0, 1, 2,… доказательство следует непосредственно из (5.3). Для целых  требуемый результат может быть обоснован путем применения принципа аналитического продолжения.

Если 0, 1, 2,… интегралы F(,,z) и G(,,z) линейно независимы между собой, в чем легко убедиться, составив вронскиан этой пары решений.

Из (5.1) следует W{F,G}=Ce^z. Сравнивая обе части этого равенства при z0, находим C=.

W{ F(,,z),G(,,z)}= - e^z. (5.10)

0, -1, -2,… ,

Общий интеграл уравнения (7.1) в этом случае может быть представлен в форме

u = AF(,,z)+BG(,,z), (5.11)

,0, -1, -2,… ,

Функция G(,,z) обладает рядом свойств, аналогичных свойствам функции F(,,z). Так, например, имеют место формулы дифференцирования:

 G(,,z)= - G(+1,+1,z)

 G(,,z)= (-1)^mG(+m,+m,z) (5.12)

m=1,2,...

рекуррентные соотношения:

G-G(+1)-G(-1)=0, (5.13)

(-)G+G(-1) -zG(+1)=0, (5.14)

(-1+z)G - G(-1)+( -+1)G(-1)=0, (5.15)

(+z)G+(--1)G(+1)-zG(+1)=0, (5.16)

G(-1)+(2-+z)G + ( -+1)G(+1)=0, (5.17)

(--1)G(-1)- (-1+z)G + zG(+1)=0, (5.18)

GG(,,z), G(1)  G(1,,z), G(1)  G(,1,z)

и так далее.

Справедливость этих формул вытекает из определения функции G и соответствующих свойств функции F.

5. Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции

Как уже отмечалось, многие элементарные и специальные функции, встречающиеся в анализе, могут быть вырождены через функцию F(,,z).

Мы имеем, например,

1) F(,,z)= =

так как

2)  F(1,2,z)= = ,

так как

3) F(-2,1,z)=

и так далее.

Литература

1.  Балк М.Б. Математический анализ: теория аналитических функций.

2.  Гурвиц А.И., Курант. Теория функций.

3.  Евграфов Н.А. Аналитические функции.

4.  Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения.

5.  Маркушевич. Введение в теорию аналитических функций.

6.  Смирнов В.И. Курс высшей математики том 3,4.

7.  Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа том 1,2

8.  Фихтенгольд. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

9.  Фильчаков. Справочник по высшей математике.