Гипергеометрическое уравнение

1.3 Гипергеометрическое уравнение

Заметим, что гипергеометрическая функция u= F(, , ,z) является интегралом линейного дифференциального уравнения

z(1-z) +[ -(++1)] -u=0 (2.16)

регулярным в окрестности точки z=0.

Уравнение (2.16) называется гипергеометрическим и включает, как частные случаи, многие дифференциальные уравнения, встречающихся в приложениях.

Если привести это уравнение к стандартной форме, разделив его на коэффициент при второй производной, то коэффициенты полученного уравнения будут регулярными функциями переменного z в области 0<<1 <1, имеющимися при z=0 полюс первого порядка или обыкновенную точку, в зависимости от значений параметров , , .

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что в таком случае рассматриваемое уравнение должно иметь частное решение вида

u=z^s z^k (2.17)

где s – надлежащее выбранное число,  0, степенной ряд сходится при <1

u= z^k+s

= (k+s)z^k+s-1

=(k+s)(k+s-1)z^k+s-2

Подставляя (2.17) в уравнение (2.16) находим

z(1-z) ( z^k+s+[ -(++1)z] ( z^k+s- z^k+s=0,

z(1-z)(z^k+s-1(k+s)(k+s-1))+[-(++1)z](z^k+s-1(k+s))- 

z^k+s=

=(z^k+s-1(k+s)(k+s-1))-(z^k+s(k+s)(k+s-1))+(z^k+s-1(k+s))-

- z^k+s(++1)(k+s))-  z^k+s=

= z^k+s-1(k+s)(k+s-1+)- z^k+s(s+k+)(s+k+)=0,

откуда для определения показателя s и  получается система уравнений

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+) - (s+k-1+)(s+k-1+)=0,

k=1,2,…,

первое из которых дает s=0 или s=1-

1)  Предположим, что 0,-1,-2,… и выберем s=0

Тогда для вычисления коэффициентов  получим реккурентное соотношение

= k=1,2,…,

откуда, если принять =1, следует

= k=0,1,2,…,

где для сокращения записи введено обозначение

=(+1)…( +k-1),

=1, k=1,2,…,

Таким образом первое частное решение уравнения (2.16) при 0,-1,-2,… будет

u== F(, , ,z)= z^k, <1 (2.18)

2)  Аналогично, выбирая s=1- получаем в предположении, что 2,3,4,…

= k=1,2,…,

откуда, если взять =1 находим

=

k=0,1,2,…,

Таким образом, при 2,3,4,… уравнение (2.16) имеет второе частное решение

u== =F(1-+,1-+,2-,z), (2.19)

<1,

3)  Если  не является целым числом (0,1, 2,…), то оба решения (2.18-2.19) существуют одновременно и линейно независимы между собой, так, что общее решение уравнения (2.17) может быть представлено в форме

u=A F(, , ,z)+B F(1-+,1-+ ,2- ,z), (2.20)

где А и В произвольные постоянные <1,