Элементарные свойства гипергеометрической функции

1.2 Элементарные свойства гипергеометрической функции

В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства гипергеометрической функции, которые непосредственно вытекают из ее определения с помощью ряда (1.1).

1. Принимая во внимание, что члены ряда не изменяются при перестановке параметров и  имеем соотношение симметрии

F(, , ,z)= F(,,,z), (2.1)

2. Дифференцируя рассматриваемый ряд почленно, находим

 F(, , ,z)===

== F(+1, +1, +1,z)

Таким образом,  F(, , ,z)=  F(+1, +1, +1,z) (2.2)

3. Повторное применение этой формулы приводит к равенствам

 F(, , ,z)=  F(+m, +m, +m,z) (2.3)

m=1,2,…

Положим в дальнейшем для сокращения записи

F(, , ,z)= F,

F(1, , ,z)= F(1),

F(, 1, ,z)= F(1),

F(, , 1,z)= F(1).

Функции F(1), F(1), F(1) называются смежными с F.

4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z. В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно.

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=0,

(--1)F+F(+1)-(- 1)F(-1)=0,

(1-z)F-F(-1)+(- )F(+1)=0.

Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4)

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

=(--)+(1-z)-(-

) =

={(--)+-(- )-

}z^k=

={(--)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)- ----

(-k-1)k} z^k=0,

так как

z==

=(+1)...( +k-1)

=(+1)...( +k-1)( +k)

=(-1) (+1)...( +k-2)

=(+1)…( +k-2)

= (+1)…( +k-2) ( +k-1)

=(-1)  (+1)...( +k-3)

Формулы (2.5) и (2.6) доказываются аналогичным способом:

(--)F+ F (+1)-(- 1)F(-1)=

={ (--1) + -(- 1) =

={--1 ++ k-(+k-1)}z^k=0,

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=

={  -- +(- )}z^k

={(+ k -1)(+ k-1)- (+ k -1)k-(-1)(+ k-1)

+(-)k}z^k=0,

Из (2.4)-(2.6) и свойства симметрии (2.1) следует три других равенства:

(--)F+ (1-z)F(+1)-(- )F(-1)=0, (2.7)

(--1)F+ F (-1)-(- 1)F(-1)=0, (2.8)

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=0. (2.9)

(--)F+ (1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

={(--)+--(-

)} z^k =

={(--)(+k-1)+(+ k -1)(+k)-(+k-1)k -(-)(-

1)}z^k=0,

(--1)F+ F (-1)-(- 1)F(-1)=

={(--1) + -(- 1) } z^k =

={--1+( + k )- (+k-1)}z^k=0,

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=

={- - +(- )} z^k

={(+k-1)( +k-1)-k(+k-1)-  (+k-1)(-1)+k

(-)}z^k=0.

Остальные рекуррентные соотношения получаются из (2.4) – (2.9) путем исключения из соответствующей пары формул общей смежной функции. Например, комбинируя (2.5) и (2.8) или (2.6) и (2.9) получаем

(-)F-F (+1)+F(+1)=0 (2.10)

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-( -)F(-1)=0 (2.11)

и так далее

(-)F-F (+1)+F(+1)=

={(-)++} z^k=

={-- (+k)+  ( +k)} z^k =0.

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F(-1)=

={(-)-(-)+(-)-(-

)} z^k=

={(-)(+k-1)(+k-1)-(-)(+k-1)k+(-)(-1)(+k-1)-

(-)(+k-1)(-1)}z^k=0.

Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую функцию вида F(, , ,z) с какой – либо парой родственных функций вида F(+1, +m, +n,z), где l,m,n – произвольные целые числа.

Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются

F(, , ,z)-F(, , -1,z)=  F(+1, +1, +1,z) (2.12)

F(, +1, ,z)- F(, , ,z)=  F(+1, +1, +1,z) (2.13)

F(, +1, +1,z)- F(, , ,z)=  F(+1, +1, +2,z) (2.14)

F(-1, +1, ,z)- F(, , ,z)=  F(, +1, +1,z) (2.15)

К данному классу относятся также равенство (1.6)

Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций.