2.5 Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 =a2 + b2


 


3. Практическая часть

 

3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника

 

Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

 

 



Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной окружности

Решение:

1.  Проведем медианы AF, CE, BH

2.  ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

3.  ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚

4.  BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

5.  ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

6.  S =  ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC =  ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ =  ∙ R ∙ R ∙  =  ∙ R2 ;  ∙ R2 = 16; R2 = 16 :  = 64; R =  = 8

Ответ: R = 8


 

Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

 


Решение:

1.  ﮮ MOP = 2 ﮮMBP

ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный

2.  MP2 = OM2 + OP2

MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2

MP =

3.  MK = KP = 0,5 ∙ MP

MK = KP = 0,5 ∙  =

4.  MK ∙ KP = BK ∙ KC

 = BK ∙ 3

BK ∙ 3 = 9 ∙ 2

BK ∙ 3 = 18

BK = 6

Ответ: BK = 6


Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

 



Решение:

1.  ∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8

2.  ∆ DOH – прямоугольный

По теореме Пифагора:

OH2 = 102 – 82

OH2 = 100 – 64 = 36

OH = 6

3.  BH = BO + OH = 10 + 6 =16

4.  По теореме Пифагора:

BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320

BC =

5.  ∆ KBO ~ ∆ HBC

6.  SBHC =  

7. 

SBOK = 20

8.  SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40

Ответ: SBOC = 40


 

3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

 

Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

 



Решение:

1.  AC = 2r = 10 м

2.  Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

По теореме Пифагора:

x + y = 10

(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2

y = 10 – x

(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2

(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100

x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100

2x2 – 20x + 148 = 100

2x2 – 20x + 48 = 0

x2 – 10x + 24 = 0

x1 = 6, x2 = 4

 y = 10 – x

x = 6 x = 4

y = 4 y = 6

3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м

Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.


Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Найти: KA

Решение:

1.  CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

2.  CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

3.  BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

4.  ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Ответ: KA = 12

 

1.  BC = x + y

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности

 


 

3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

 

Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.



Решение:

1.  Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2.  АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

3.  АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;

так как ОА2=ОВ2, получим:

АК2 + КО2 = ВН2 + НО2

90 + 64 – 16x = 0

16x = 154

ОВ2 = ВН2 + НО2

Ответ: OB = 10,625

 


Информация о работе «Окружности в треугольниках и четырехугольниках»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 12978
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 10

Похожие работы

Скачать
7937
0
7

... ; R ∙ sin 150˚ =  ∙ R ∙ R ∙  =  ∙ R2 ;  ∙ R2 = 16; R2 = 16 :  = 64; R =  = 8 Ответ: R = 8 Задача 3: периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. Дано: ∆ ABC – прямоугольный, P = 72 м, r = 6 м Найти: BC Решение: DO = OF = OE = r = 6 м, следовательно AD = ...

Скачать
147329
8
14

... учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. 9.   Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991. 10.             Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ...

Скачать
32918
7
27

... треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. Определить высоту BD. УРОК 6 Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников» Все учителя в начале изучения темы определяют для себя и для учащихся требования, предъявляемые к знаниям учащихся в конце ее изучения. В течение всего времени, отведенного на ...

Скачать
41442
0
0

... треугольник по катету и разности двух других .'сторон. 70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости? 71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий ...

0 комментариев


Наверх