Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

 

Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD  r в 4 раза

Найти:

 

Решение:

1.  Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

2. 

3. 

4.   

Ответ:

 

Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти:

Решение:

1.  AB = CD = 10 по условию

2.  AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности

3.  AD + BC = 10 + 10 = 20

4.  FE = 2r = 2 · 4 = 8

5. 

Ответ:

 

Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

 

 

Решение:

1.  Пусть AB = BC = AC = a.

2.  Обозначим O₁E = O₁K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .

3.  AO₁ – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O₁AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO₁E имеем AO₁ = 2O₁E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда .

4.  

Ответ:

 

Задача 10: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Решение:

1.  Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°

2. 

3. 

4. 

Ответ:

 

Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.

Решение:

1.  20² = 12² + 16²

400 = 144 + 256

400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)

2. 

3. 

96 = 10 · ВН

ВН = 9,6

Ответ: ВН = 9,6

Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10

Найти:

Решение:

1.  ∆ ADE ~ ∆ ACB (ﮮ A – общий, ﮮ ADE = ﮮ ACB = 90°)

2.  Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X

3. 

15 · X = 10(15 – X)

15 · X = 150 – 10 · X

25 · X = 150

X = 6

DE = DC = 6

4.  S _кв. = 6 · 6 = 36

Ответ: S _кв. = 36

Задача 13: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

1.  HK = BC = 10 м

2.  Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 – y

3.  По теореме Пифагора:

x² + y² = 13²

x² + (21 – y)² = 20²

 x² + y² = 169

x² + 441 – 42y + y² = 400

441 – 42y = 231

42y = 210

y = 5

AH = 5 м

4.  По теореме Пифагора:

BH² = AB² – AH²

BH² = 13² – 5²

BH² = 169 – 25

BH² = 144

BH = 12

Ответ: BH = 12

4. Заключение

В процессе работы я расширил знания по теме «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках», научился решать задачи, казавшиеся ранее недоступными, систематизировал знания по этой теме, и закрепил методы решения этих задач на практике.

Так как геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы, то в дальнейшем мне будет намного легче справиться с ними на ЕГЭ.

 

Список литературы:

1.  «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»

2.  Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

3.  Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

4.  Т. А. Корешкова, Ю. А. Глазков, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева «Математика. Единый государственный экзамен 2006. Типовые тестовые задания»