Інтегральні перетворення Лапласа

Вступ

В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.

1. Означення перетворення Лапласа. Оригінал і зображення.

Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при t<0. Якщо ця функція при t>0 задовольняє оцінці:

(1.1)

то можна розглянути інтеграл

(1.2)

Дійсно справджується оцінка

(1.3)

При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що . Функція  є аналітичною функцією комплексної змінної  в півплощині . Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:

(1.4)

Як і при виведенні (1.3), знаходимо

(1.5)

Останнє означає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна існує при , і формула (1.4) справедлива при .

Інтеграл (1.2) називається перетворенням Лапласа функції  і позначається -. В цьому випадку функція  називається оригіналом, а функція  – зображенням.

Перетворення Лапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:

Де  (Перетворення Фур’є із знаком «-»)

2. Властивості перетворення Лапласа L

Лінійність.

Доведення:

В силу властивостей інтеграла:

Диференціювання зображення

Для m=1 властивість вже встановлено. Для довільного m властивість доводиться аналогічно.

Перетворення Лапласа похідних.

 

Для m=1 за допомогою інтегрування частинами знаходимо

При цьому ми врахували, що виконуються наступні оцінки:

При  и . Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією

Зсув перетворення Лапласа.

Доведення властивості 2.4 очевидно.

Перетворення Лапласа і його подібності.

 

Зсув оригінала в перетворенні Лапласа.

Доведення. Позначимо

Очевидно, що g’[t]=f[t], g[+0]=0

Тому за допомогою інтегрування частинами знаходимо

При цьому ми врахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)

при , , .

при , , .

Звідси знаходимо

Перетворення Лапласа дробу f[t]/t.

Доведення. Позначив Ф[p]=£[f[t]\t][p] . Знайдемо

Останню рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=∞

 

Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[∞]=0. І отримаємо потрібну властивість (2.8).

Перетворення Лапласа згортки f*g.

 

Доведення. Позначимо

Очевидно, що  при t→∞

При довільному έ>0. Для доведення останньої нерівності ми використовуємо також оцінку.

Звідси при

Таким чином, при Rep>a

Тут ми скористалися теоремою Фуббіні і змінили порядок інтегрування.