Замена переменных под знаком определенного интеграла

2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.

Пример 36.

2.  Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пример 37.

а)

б)

в)

д)

 

3.2.3 Приложения определенного интеграла

Характеристика	Вид функции	Формула
площадь криволинейной трапеции	в декартовых координатах
площадь криволинейного сектора	в полярных координатах
площадь криволинейной трапеции	в параметрической форме
длина дуги кривой	в декартовых координатах
длина дуги кривой	в полярных координатах
длина дуги кривой	в параметрической форме
объём тела вращения	в декартовых координатах
объём тела с заданным поперечным сечением

Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения  и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

.

В нашем случае

Ответ: площадь равна  (квадратных единиц).

Глава 4. Функции нескольких переменных

4.1 Основные понятия

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел  из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

 Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар , при которых функция z существует.

Область определения функции двух переменных  представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E³. Например:

 

 Рис.1

Пример 39. Найти область определения функции.

а)

Выражение, стоящее в правой части имеет смысл только при . Значит, область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса R с центром в начале координат.

б) .

Область определения данной функции – все точки плоскости , кроме точек прямых , т.е. осей координат.

Определение. Линии уровня функции  – это семейство кривых на координатной плоскости , описываемое уравнениями вида .

Пример 40. Найти линии уровня функции .

Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости , описываемое уравнением

, или .

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О₁(1, 1) радиуса . Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая задается уравнениями x = 1, y = 1. (Рис. 4)

Рис.4

  4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.