Пределы

1. Пределы.

Определение. Число A называется пределом функции  при стремлении точки  к точке , если для каждого сколь угодно малого числа  найдется такое число , что для любой точки  верно условие , также верно условие . Записывают: .

Пример 41. Найти пределы:

т.е. предел зависит от , а, значит, он не существует.

 

2. Непрерывность.

Определение. Пусть точка  принадлежит области определения функции . Тогда функция  называется непрерывной в точке , если

(1)

причем точка  стремится к точке  произвольным образом.

Если в какой-либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции . Это может быть в следующих случаях:

1)  Функция  не определена в точке .

2)  Не существует предел .

3)  Этот предел существует, но он не равен .

Пример 42. Определить, является ли данная функция непрерывной в точке , если .

Получили, что  значит, данная функция непрерывна в точке .

предел зависит от k, т.е. он в данной точке не существует, а значит, функция имеет в этой точке разрыв.

  4.3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных   4.3.1 Частные производные первого порядка

Частная производная функции по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y и обозначается:

Частная производная функции по аргументу y является обыкновенной производной функции одной переменной y при фиксированном значении переменной x и обозначается:

Пример 43. Найти частные производные функций.

  4.3.2 Частные производные второго порядка

Частные производные второго порядка – это частные производные от частных производных первого порядка. Для функции двух переменных вида  возможны четыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называют смешанными производными. Смешанные производные второго порядка дважды дифференцируемой функции равны.

Пример 44. Найти частные производные второго порядка.

  4.3.3 Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

Определение. Дифференциал первого порядка функции двух переменных  находится по формуле

.

Пример 45. Найти полный дифференциал для функции .

Решение. Найдем частные производные:

 

тогда

.

При малых приращениях аргументов x и y функция получает приращение , приблизительно равное dz, т.е. .

Формула для нахождения приближенного значения функции  в точке , если известно ее точное значение в точке :

.

Пример 46. Найти .

Решение. Пусть ,

.

Тогда используем формулу

.

Получим:

.

Ответ. .

Пример 47. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Имеем

  

Ответ. .

Пример 48. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Получим:

Ответ. .

4.3.4 Дифференцирование неявной функции

Определение. Функция  называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно z.

Частные производные такой функции находятся по формулам:

Пример 49. Найти частные производные функции z, заданной уравнением .

Решение.

Определение. Функция называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно y.

Производная такой функции находится по формуле:

.

Пример 50. Найти производные данных функций.

Глава 5. Классические методы оптимизации