Следовательно оператор А непрерывен

 0. Следовательно оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f(x+a)|  1.

Поскольку ||f|| = |f(x)|  1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A^-1f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С_{[0, +)}, имеющих конечный предел на :

Af(x) = f(x+a), a0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С_[0,b) и С_[а,+).

Введем функцию V(x) =  при ||<1, 0, найдем ее предел:

 = 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С_[0,+).

Теперь рассмотрим V(x+a) =  = * = *V(x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x  а и не равную 0 при x  [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению  V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1  точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга  точечному спектру.

Покажем, что остальные точки окружности  точечному спектру оператора А в пространстве С_{[0, +)}.

Рассмотрим U(x) =  и число  =  (|| = 1);

U(x+a) =  =   = U(x);

U(x) =  = Cos() + iSin(), принадлежит пространству С_[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С_{[a, +)} так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С_{[0, +)} точки  = ,   2n не будут собственными числами.

Докажем это от противного: пусть найдется  = ,   2n – собственное число, тогда найдется функция f(x)  С_{[0, +)}, что

f(x+a) = f(x).

Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = ⁿf(x), тогда

 f(x+na) = ⁿf(x), у левой части предел конечен;

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность ⁿ =  = Cos(n) + iSin(n).

Следовательно  = ,   2n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С_[0,+), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С_{[0, +)}.

Сделаем вывод:

При ||>1 все точки регулярные;

При ||<1 и =1 – точки спектра;

При  = ,   2n – точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C_[], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)  C_[], a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1.  линейный;

2.  непрерывный и ограниченный;

3.  норма А: ||A|| = 1;

4.  A^-1f(x) = f(x-a);

5.  Спектр оператора А:

·  при ||<1 и =1 – точки спектра;

·  при  = ,   2n – точки непрерывного спектра;

·  При ||>1 все точки регулярные.

Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

 

1.   Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.

2.   Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.

3.   Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.

4.   Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

[1] E_x и E_y - линейные многообразия, то есть если x, y E_x , то x + y E_y , при , .

E_x – область определения А;

E_y - область значения А;

[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;

[3]Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (x_n, x₀) < а.

Шар D(x₀, a).

Если p (x_n, x₀) а, то D(x₀, a) – замкнутый шар.

Если p (x_n, x₀) = а, то S(x₀, a) – сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.

 

[4]Свойства нормы оператора.

1) Если оператор  ограничен, , то и оператор ограничен, причем .

2) Если операторы ограничены, то и оператор ограничен, причем и .

 

[5]Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.