Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


2. Необхідні поняття, факти і нотація із інших математичних дисциплін

Тут дано огляд математичних понять і роз'яснимо позначення і терміни, що будуть використані надалі.

1. Множини

Для позначення множин звичайно будуть використовуватися прописні букви А, В, С…. Тут хА позначає, що х є елементом множини А чи належить множині А, а хА означає, що х не належить множині А. Позначення {х/… х…}, де…х… є деяке твердження, що включає х, означає множину всіх об'єктів х, для яких…х… вірно. Так, {х/х є парним натуральним числом} є множина {0,2, 4,6,…}.

Якщо А, В суть множини, то запис A  В означає, що А міститься (як частина) в В (чи А є підмножиною В); запис АВ означає, що АВ, але АВ (тобто А є власною підмножиною В). Об'єднання множин А, В, є множина {х| хА чи хВ (чи відразу двом множинам А, В)} і позначається А U В; перетин А, В є множина {х/хА і хВ} і позначається через АВ. Різниця (чи відносне доповнення) множин А, В є множина {х / хА і хВ} і позначається А\В.

Порожня множина позначається через 0. Стандартний символ N позначає множину натуральних чисел {0, 1, 2, 3,…}. Якщо А – множина натуральних чисел (тобто АN), то А позначає доповнення до А до N, тобто N\А. Через N+ позначається множина додатніх натуральних чисел {1,2,3,…}, а множина цілих чисел позначається через Z.

Упорядкована пара елементів х, у позначається (х, у); таким чином, (х, у)(у, х). Картезіанським, чи декартовым, добутком множин А и В називається множина {(х, у)/хА, уВ}, і позначається вона через АВ.

Більш узагальнено, запис (х1…, хn) позначає упорядкований n-набір (п-ку) елементів х1,…, хn; часто цей n-набір позначається однією жирною буквою х. Якщо А1,…, Аn суть множини, те А1Аn позначає множину n-ок {(х1,…, хn)/х1 А1 і х2 А2…хnАn}. Добуток ААА (п разів) скорочено позначають як Аn; а А1 означає просто А.

2. Функції

Ми припускаємо, що читач знайом з основним поняттям функції і розходженням між функцією f і окремим значенням f(х) на даному х, на якому функція визначена. Областю (визначення) функції f називається множина {x/f(x) визначена} і позначається Dom(f); ми будемо говорити, що f (х) не визначена, якщо xDom(f). Множина {f (х) | х  Dom (f)} називається множиною значень, чи образом (range), функції f і позначається через Ran (f). Якщо А и В – множиниі, то будемо говорити, що f є функція з A в В, якщо Dom (f)A и Ran(f)В. Коли Dom(f)=A, буде застосовуватися позначення f: Ar.

Функція називається ін’єктивною, якщо з х, у Dom (f) і ху випливає f(х) f (у). Для ін’єктивної функції f через f -1 позначається функція, зворотня до f, тобто така єдина функція g, що Dom (g)=Ran (f) g (f(x))=x для всіх хDom (f). Функція f з А в В називається сюр’єктивною, якщо Ran(f)=B.

Якщо f: A  В и функція f ин’єктивна (сюр’єктивна), то f називається ін'єкцією (з А в В) (сюр’єкцією (з А в В)). Функція, що є одночасно ін'єкцією і сюръекцией, називається биекцией.

Припустимо, що f є функцією, а Х – множина. Обмеженням f на Х називається функція з областю визначення ХDom(f), значення якої в кожному х  Х  Dom (f) дорівнює f(x).

Обмеження f на Х позначається через f|X. Ran (f|X) позначається через f(X). Якщо Y – множина, то прообразом Y відносно f називається множина f-1(Y)={x|f(x)Y}. (Помітимо, що прообраз визначений навіть тоді, коли функція не ин’єктивна.)

Якщо f, g-функції, то будемо говорити, що g продовжує f, коли Dom (f)  Dom (g) і f(х) = g (х) для всіх х  Dom (f); у коротшому запису: f=g/Dom(f). Це відношення функцій f, g записується як f  g.

Композиція двох функцій f і g є функція з областю визначення {x/xDom(g) і g(x)Dom(f)}, значення якої, коли вона визначена, є f (g(x)). Цю функцію позначають через fg.

Через f0 позначаємо ніде не визначену функцію; тобто Dom(f0)=Ran(f0)=0. Очевидно, що f0=g|0 для будь-якої функції g.

В обчисленнях нам часто будуть зустрічатися функції чи вирази, що включають функції, що не усюди визначені. У таких випадках дуже зручне наступне позначення. Нехай a(x) і b(х) – вирази, що включають змінні х=(х1,…, хn). Тоді запис а(x) b(x) означає, що для кожного х вираження а(x) і b(x) або одночасно визначені і рівні, або обидва не визначені. Так, наприклад, для функцій f і g запис f(x)g(x) означає, що f=g; і для довільного числа y запис f(x)  y означає, що f(x) визначена і дорівнює y (оскільки y завжди визначене).

Функції від натуральних чисел. У більшій частині цієї книги ми будемо мати справу з функціями від натуральних чисел, тобто з функціями з Nn в N для різних п, здебільшого для п = 1 чи 2.

Функція f з Nn в N називається п-місною функцією. Значення f на п-кі (x1,…, хn) Dom (f) записується як f(x1,…, xn) чи f(x), якщо x представляє (x1,…, xn). У багатьох книгах і статтях термін часткова функція використовується для позначення функції з Nn у N, область визначення якої не обов'язково збігається з Nn. Для нас слово функція означає часткову функцію. Проте при нагоді ми будемо писати «часткова функция», щоб підкреслити її можливу «не усюди визначеність». Тотальною функцією з Nn у N ми називаємо функцію з Nn у N), область визначення якої є всі Nn. l

Ми затушовуємо розходження між функціями і їхнім значеннями в різних крапках, особливо у випадку теоретико-числових функцій у двох досить стандартних і недвозначних ситуаціях. По-перше, ми допускаємо такі фрази як «Нехай f(x1,…, xn) – функція…», що означає, що f є n-місною функцією. По-друге, ми часто описуємо функцію в термінах її значення, що задається деякою формулою. Наприклад, «функція х2» означає «одномісна функція f, значення якої в кожному х  N є х2»; аналогічно «функція х + у» означає «двомісна функція», значення якої в кожній парі (х, у)  N2 є х+ у.

Функцію, тотожно рівну 0 на N, ми позначаємо через 0, і взагалі для т  N функцію NN, значення якої усюди дорівнює т, ми позначаємо жирним символом т.


Информация о работе «Алгоритмічні проблеми»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 54576
Количество таблиц: 5
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
33080
5
4

... число эпох функционирования алгоритма, или определение его сходимости, обычно путем сравнивания приспособленности популяции на нескольких эпохах и остановки при стабилизации этого параметра. 3. Непрерывные генетические алгоритмы. Фиксированная длина хромосомы и кодирование строк двоичным алфавитом преобладали в теории генетических алгоритмов с момента начала ее развития, когда были получены ...

Скачать
18213
1
5

... в состояние qj, заменяя содержимое ячеек соответственно символами аb1 - аbк, то после этого ленты соответственно сдвигаются в направлениях k1... kk. До сих пор принималось, что различные алгоритмы осуществляются на различных машинах Тьюринга, отличающихся набором команд, внутренним и внешним алфавитами. Однако, можно построить универсальную машину Тьюринга, способную выполнять любой алгоритм ...

Скачать
26020
3
4

... M2(n) = O(l n), C2(n) = O(l n). Оскільки l = log2n, M2(n)=O(n log2 n)), C2(n)=O(n log2 n), Але З(n) = C1(n) + C2(n), M(n) = M1(n) + M2(n). Тому що C1(n) < C2(n), M1(n) < M2(n), остаточно одержуємо оцінки складності алгоритму TreeSort за часом: M(n) = O(n log2 n), C(n) = O(n log2 n), У загальному випадку, коли n не є ступенем 2, сортуюче дерево будується трохи інакше. “Зайвий” елемент ...

Скачать
10075
2
1

... U4 сравнения двух целых чисел оставляем читателю в качестве упражнения. Замечание: исходное слово надо задать в форме  * Для нормальных алгоритмов Маркова справедлив тезис, аналогичный тезису Тьюринга. Тезис Маркова: Для любой интуитивно вычислимой функции существует алгоритм, ее вычисляющий. Построение алгоритмов из алгоритмов. До сих пор, строя ту или иную МТ, или НАМ мы каждый раз ...

0 комментариев


Наверх