Навигация
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл
22351
знак
0
таблиц
8
изображений
9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)
- (8)
при λ→0, не зависящий от способа разбиения τn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξk, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:
Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.
Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение 
равно площади прямоугольника с основанием 
и высотой 
, а сумма 
представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξk.
Чем меньше 
, k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:
Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
10. Основные свойства определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенного интеграла.
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:
Это свойство следует из определения интеграла.
2. Если f(x)=1, то
Действительно, так как f(x)=1, то
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
R.
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
6 (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы 
и 
то существует также интеграл 
и для любых чисел a, b, c;
7. Если f(x) ≥ 0 
[a; b], то
a < b.
8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то
a >b.
9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то
a < b.
10 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка 
[a; b], что
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.
Похожие работы
... они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала. 2.2. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей При изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в ...
... между этими графиками равна b ò ((f(x)–g(x))dx a Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные b b b S=ò f(x)dx – ò g(x)dx = ò (f(x)–g(x))dx a a a b b S=ò f(x)dx + ò g(x)dx a a Применение интеграла I. В физике. Работа силы (A=FScosa, cosa ¹ 1) Если на частицу действует сила F, кинетическая ...
... выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования. Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. 2. Геометрический смысл определенного интеграла Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью ...
... элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. Из определения 2 следует: 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.если F′ (x)= f(x), то и (∫ f(x)dx)′= (F(x)+C)′=f(x). (4) Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что ...
0 комментариев