Булева функция от одной переменной

1. Булева функция от одной переменной.

Обозначение аргумента и функции	Значения аргумента и функции		Наименование функции
x	0	1
	0	0	Логический ноль
	0	1	Повторение x
	1	0	Инверсия x
	1	1	Логическая единица

2. Возможные функции от двух переменных.

Обозначение аргументов и функций	Значение аргументов и функций				Обозначение функций	Наименование	Вырожденность	Представление функции в булевом базисе
	0	0	0	0	“0”	Логический ноль	+	-
	0	0	0	1	x1&x2	Конъюнкция	-	x1 x2
	0	0	1	0	x1Dx2	Запрет x1 по x2	-	x1 2
	0	0	1	1	x1	Повторение x1	+	-
	0	1	0	0	x2Dx1	Запрет x2 по x1	-	x21
	0	1	0	1	x2	Повторение x2	+	-
	0	1	1	0	x1Еx2	Сумма по модулю 2 неравнозначная (исключительное или) XOR	-	1 x2 Ъ x12
	0	1	1	1	x1Ъx2	Дизъюнкция	-	x1 Ъ x2
	1	0	0	0	x1Їx2	Функция Вебба	-	x1Ъx2
	1	0	0	1	x1єx2	Равнозначность	-	12 Ъ x1 x2
	1	0	1	0	2	Отрицание x2	+	-
	1	0	1	1	x2®x1	Импликация от x2 к x1	-	2 Ъ x1
	1	1	0	0	1	Отрицание x1	+	-
	1	1	0	1	x1®x2	Импликация x1 к x2	-	1 Ъ x2
	1	1	1	0	x1 | x2	Штрих Шеффера	-
	1	1	1	1	“1”	Логическая единица	+	-

Определение: Булева функция от n аргументов fⁿ(x) называется вырожденной по аргументу x_i, если ее значение не зависит от этого аргумента, то есть для всех наборов аргументов имеет место равенство:

f(x₁, x₂, ... , x_i-1, 0, x_i+1, ... , x_n) = f(x₁, x₂, x_i-1, 1, x_i+1, ... , x_n).

Функция запрета x₁Dx₂ принимает значение, равное нулю при равенстве запрещающей переменной (x₂) единице и повторяет значение аргумента x₁ при равенстве запрещающей переменной нулю.

Понятие импликации в Булевой алгебре отождествляется с выражением следования (если ... то ... ).

Пример: Имеют место два простых высказывания.

А. На небе тучи.

В. Идет дождь. В®А

А	В	В®А
f	f	t
f	t	f
t	f	t
t	t	t

Из истины не может следовать ложь!

Некоторые функции от трех переменных.

Значение аргументов			Значение функций
			Сумма по модулю 2	Исключающее ИЛИ	Функция мажоритарности
x1	x2	x3	x1Еx2Еx3	XOR (x1,x2,x3)	x1#x2#x3
0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0
0	1	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0
1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	1	0	1

Функция - сумма по модулю 2 и исключающее ИЛИ являются эквивалентными только для двух аргументов.

_n

Общее разнообразие функций от n аргументов равно 2²

В самом компактном виде любую Булеву функцию можно представить символически: , где n-количество аргументов, а N-десятичный эквивалент двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.

Пример:

f³(x)=x₁Еx₂Еx₃=

Невырожденные функции от двух переменных с добавлением функции отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом обращаемости некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество равно девяти.

Нормальные формы Булевых функций

Нормальные формы - это особый класс аналитических выражений, используемых при решении задачи минимизации Булевых функций и для перехода от табличной формы задания к аналитической. Нормальные формы строятся на основании операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, причем отрицание только единственной переменной.

Определение: Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнкция (дизъюнкция) конечного числа попарно различимых переменных или их отрицаний.

Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) принято называть конъюнктивным (дизъюнктивным) термом.

В частном случае терм, как конъюнктивный так и дизъюнктивный может состоять из единственной буквы (литерала). Под буквой будем понимать аргумент Булевой функции и его отрицания.

Примеры конъюнктивных термов:

_ _

x₁, x₂, x₁x₃, x₂x₄x₅ (терм)

___ _

x₁x₂, x₁x₂x₃ (не терм)

Рангом терма называется количество букв входящих в него.

Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой Булевой функции называется дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа попарно различимых конъюнктивных (дизъюнктивных) термов.

Каноническая нормальная форма.

Конституентой единицы (нуля) называется конъюнктивный (дизъюнктивный) терм максимального ранга. Т.е. для Булевой функции от n переменных конституента включает в себя n букв.

Свойство конституенты: Конституента единицы (нуля) принимает значение единицы (нуля) на одном и только одном наборе аргументов.

Пример: _ _

n=4 x₁x₂x₃x₄ (1010)=1

_ _ _

x₁Ъx₂Ъx₃Ъx₄=0

Определение: Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется канонической, если все ее дизъюнктивные (конъюнктивные) термы представляют собой конституенты единицы (нуля). Иногда канонические формы называют совершенными.

Пример получения канонических форм:

y=x₁Еx₂

x1	x2	y	Конституента единицы	Конституенты нуля
0	0	0	-	x1Ъx2
0	1	1	1x2	-
1	0	1	x12	-
1	1	0	-	1Ъ2

КДНФ - каноническая дизъюнктивная нормальная форма:

_ _

y=x₁x₂Ъx₁x₂

ККНФ - каноническая конъюнктивная нормальная форма:

_ _

y=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)

1) С помощью канонических форм наиболее просто осуществляется переход от табличной формы задания Булевой функции к аналитической.

2) С помощью канонических форм можно осуществить преобразование любой функции в Булев базис.

3) Любая Булева функция за исключением логического нуля и логической единицы имеет единственные КДНФ и ККНФ. Логическую единицу можно представить в виде КДНФ и логический ноль в виде ККНФ.

4) Правило перехода от табличной формы задания Булевой функции к аналитической:

а) в таблице истинности выделяются все наборы аргументов, при которых функция равна единице (нулю).

б) для каждого из этих наборов составляют конституенты единицы (нуля).

в) объединением конституенты единицы (нуля) знаками дизъюнкции (конъюнкции) получается аналитическая форма в виде КДНФ (ККНФ).

Пояснение: при составлении конституент единицы (нуля) используют следующее правило:

Если некоторый аргумент принимает на наборе значение равное нулю, то в конституенту единицы он входит с отрицанием, а в конституенту нуля без него.

5) КДНФ и ККНФ представляют собой две различные, но эквивалентные аналитические формы булевой функции. Это означает, что из одной формы можно получить другую, используя законы Булевой алгебры.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)=x₁x₁Ъx₁x₂Ъx₂x₁Ъx₂x₂=x₁x₂Ъx₂x₁=x₁x₂Ъx₁x₂ (КДНФ)

6) Принципиально существует другой способ получения ККНФ:

а) составляется КДНФ, но не для самой, а для ее отрицания.

б) берется отрицание над полученной КДНФ, которое снимается с применением закона двойственности.

_ _ _ = ------------ ----- ---- _ _

y=x₁x₂Ъx₁x₂, y=y=x₁x₂Ъx₁x₂=x₁x₂ x₁x₂=( x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)

Разнообразие двоичных алгебр

В связи с тем, что любую сколь угодно сложную Булеву функцию можно представить в канонических формах, то есть записать ее с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции эта система Булевых операций обладает свойством функциональной полноты, т.е. образует так называемый базис. Естественно предположить, что система Булевых операций является не единственной, с помощью которой можно образовать некоторый базис.

В принципе любую из базовых функций можно отождествить соответствующей операцией и на основе совокупности этих операций построить двоичные алгебры, отличные от Булевой. К наиболее распространенным двоичным алгебрам относятся: алгебра Жигалкина (Е, &); алгебра Вебба (Пирса) (Ї); алгебра Шеффера ( | ). В каждой из этих алгебр действуют собственные законы. Естественно существуют взаимно однозначные переходы от операций одного базиса к операциям другого.

Числовое представление Булевых функций

Для любой Булевой функции можно предложить две числовые формы, основанные на перечислении десятичных эквивалентов наборов аргументов на которых функция принимает значение единицы (нуля).

f³(x)=(0,2,6,7) - от этой числовой формы легко перейти к КДНФ путем замены каждого из наборов в перечислении конституенты единицы.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃=x₁x₃(x₂Ъx₂)Ъx₁x₂(x₃Ъx₃)=x₁x₃Ъx₁x₂ (ДНФ)

f³(x)=&(1,3,4,5)

_ _ _ _ _ _

y=(x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (*)

Преобразование произвольной аналитической формы Булевой функции в нормальную

В Булевой алгебре в виде теоремы доказывается следующее утверждение: существует единый конструктивный подход, позволяющий преобразовать аналитическое выражение Булевой алгебры в произвольной форме к нормальной форме.

Пример:

_ _ _ _ _ _

y=f⁴(x)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁|x₄)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁x₄)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁Ъx₄)=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

=x₁x₂Ъx₁x₂x₄Ъx₁x₂x₃Ъx₂x₃x₄₌x₁x₂Ъx₁x₂x₃Ъx₂x₃x₄=x₁(x₂Ъx₂x₃)Ъx₂x₃x₄=

_ _ _ _

=x₁(x₂Ъx₃) Ъx₂x₃x₄=x₁x₂Ъx₁x₃Ъx₂x₃x₄ (КДНФ)

Замечания:

1) В общем случае любая Булева функция может иметь несколько КДНФ, отличающихся либо количеством термов, либо количеством букв в этих термах.

2) При построении комбинационной схемы, реализующей данную функцию по ее нормальной форме предпочтительней та, которая обладает наименьшим числом термов и наименьшим количеством букв в этих термах.

3) По сравнению со схемой, построенной по ДНФ, схема, построенная по скобочной форме (*), является более предпочтительной т.к. при одном и том же числе логических элементов (И, ИЛИ) содержат меньшее число входов (9 вместо 10).

Задача преобразования нормальной формы Булевой функции в скобочной форме называют задачей фактеризации.

4) Сущность конструктивного подхода при получении ДНФ состоит в следуюшем:

а) преобразование операций не-Булевого базиса к операциям Булевого базиса (см. последние строки таблицы)

б) снятие отрицаний над выражениями с применением законов двойственности

в) раскрытие скобок с применением дистрибутивного закона

г) упрощения выражения с применением закона поглощения

Приведение произвольных нормальных форм Булевой функции к каноническим

Для приведения произвольной ДНФ к КНФ необходимо использовать правило дизъюнктивного развертывания применительно к каждому из неполных конъюнктивных термов.

_ _

P=P(x_iЪx_i)=Px_iЪPx_i, где P-неполный конъюнктивный терм (ранг этого терма

меньше n), а x_i - недостающий в терме аргумент.

Пример:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁Ъx₂x₃(ДНФ)=x₁(x₂Ъx₂)(x₃Ъx₃) Ъx₂x₃(x₁Ъx₁)=x₁x₂x₃Ъ x₁x₂x₃Ъ

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъ x₁x₂x₃Ъ x₁x₂x₃ (КДНФ)

Замечание:

После раскрытия скобок могут получиться одинаковые термы, из которых нужно оставить только один.

y= (0,1,2,3,5)=f³

Преобразование КНФ к ККНФ реализуется путем применения правила конъюнктивного развертывания к каждому неполному дизъюнктивному терму.

_ _

P=PЪx_ix_i=(PЪx_i)(PЪx_i)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁Ъx₂x₃(ДНФ)=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₃)(КНФ)=(x₁Ъx₂Ъx₃x₃)(x₁Ъx₃Ъx₂x₂)=

_ _ _ _ _ _ _ _

=(x₁Ъx₂Ъx₃)(x₁Ъx₂Ъx₃)(x₁Ъx₂Ъx₃)(x₁Ъx₂Ъx₃)(ККНФ)

y=(4,6,7)

Минимизация булевых функций на картах Карно(см. Практику).

Метод Квайна-МакКласски базируется на кубическом представлении булевых функций.

Кубическое представление булевых функций.

В кубическом представлении булевой функции от n переменных все множество из 2ⁿ наборов ее аргументов рассматривается как множество координат вершин n-мерного куба с длинной ребра равной 1. В соответствии с этим наборы аргументов, на которых булева функция принимает значение равное 1 принято называть существенными вершинами.

Существенные вершины образуют так называемые ноль-кубы (0-кубы). Между 0-кубами существует отношение соседства и определена операция склеивания. Два 0-куба называются соседними если они отличаются только по одной координате.

Пример : n=4 0101

0001 - два соседних 0-куба

результат склеивания : 0x01 (*)

Склеивание 2-х соседних 0-кубов дает в результате 1-куб. Координата, отмечаемая символом х, называется свободной (независимой, несвязанной), а остальные (числовые) координаты называются зависимыми (связанными). Аналогичное отношение соседства существует между 1-кубами, в результате склеивания которых получается 2-куб.

0х01

0х11 - 0хх1 (**)

В продолжении аналогии два r-куба называются соседними если они отличаются только по одной (естественно зависимой) координате. r-куб содержит r независимых и n-r зависимых координат. В результате склеивания 2-х соседних r-кубов образуется (r+1)-куб содержащий r+1 независимую координату.

Операция склеивания над кубами соответствует применению закона склеивания к конъюнктивным термам, отождествляемым с этими кубами.

Пример : для склеивания (*)

_ _ _ _ _ _ _

х₁х₂х₃х₄Ъ х₁х₂х₃х₄= х₁х₃х₄

(0101) (0001) (0х01)

_ _ _ _

для (**) х₁х₃х₄Ъ х₁х₃х₄= х₁х₄

(0х01) (0х11) (0хх1)

Определения.

Кубическим комплексом K⁰(f) булевой функции f называется множество 0-кубов этой функции. В общем случае кубическим комплексом K^r(f) булевой функции f называется объеденение множеств кубов всех размерностей этой функции

m

k(f)=UK^r(f) m-максимальная размерность кубов функции f.

r=0

Пример получения кубических комплексов

f³(x)=V(1,2,3,6,7) |001 (1) |0x1 (1-3) (1)

(f=1) |010 (2) |01x (2-3) (2)

K⁰(f)=|011 (3) K¹(f)=|x10 (2-4) (3) K²(f)=|x1x (2-5)

|110 (4) |x11 (3-5) (4)

|111 (5) |11x (4-5) (5)

K³(f)=пустому множеству

K(f)=K⁰(f)UK¹(f)UK²(f)

Для получения кубического комплекса K(f) необходимо провести всевозможные операции склеивания над 0-кубами, 1-кубами и т.д. до тех пор пока на очередном шаге не получится K^r+1(f)=пустому множеству. При склеивании 1-кубов 2-кубы представлены в 2-х экземплярах как результаты склеивания 2-х различных пар 1-кубов.

Распространяя этот принцип можно утверждать, что r-кубы как результат склеивания (r-1)-кубов получаются в r-кратном количестве экземпляров.

Куб, входящий в состав кубического комплекса K(f) называется максимальным, если он не вступает ни в одну операцию склеивания.

В приведенном примере максимальными кубами являются х1х и 0х17.

Геометрическая интерпретация кубов малой размерности. Графическое представление булевых функций.

Подобный подход носит ограниченный характер и как правило является наглядным для булевых функций от 2-х и 3-х переменных.

F³(x)=V(1,2,3,6,7)

(f=1)

Геометрическим местом 0-куба является точка, представляющая существенную вершину.

Два соседних 0-куба являются концами какого-либо ребра.

Геометрическим местом 1-куба является ребро, замыкаемое склеивающимися 0-кубами, образующими данный 1-куб.

Два параллельных ребра, образующих грань, являются образами склеивающихся 1-кубов. В соответствии с этим геометрической интерпретацией 2-куба является грань, образуемая парой параллельных ребер. Так как любую грань можно определить одной из пар параллельных ребер, 2-куб может быть получен как результат склеивания двух различных пар 1-кубов, то есть представляется в двух экземплярах.

Геометрическим образом 3-куба можно считать 3-х мерный куб. Так как он может быть образован 3-мя способами как пара параллельных граней, то при склеивании он получается в трех экземплярах.

Покрытия булевых функций.

Между кубами различной размерности, входящих в кубический комплекс K(f), существует отношение включения или покрытия. Принято говорить, что куб А меньшей размерности покрывается кубом Б большей размерности, если куб А включается в куб Б. Это означает, что при образовании куба Б хотя бы в одном склеивании учавствует куб А.

Отношение включения (покрытия) между кубами принято обозначать АМБ. В теории множеств отношение включения связывает между собой некоторое множество и его подмножества.

Для рассмотренного примера отношения включения имеют место между 001М0х1; 011Мx11Мx1x... любой 1-куб покрывает 2 0-куба, 2-куб - 4 0-куба и 2 1-куба, 3-куб покрывает 8 0-кубов, 12 1-кубов и 6 2-кубов.

Покрытием булевой функции f называется такое подмножество кубов из кубического комплекса K(f), которое покрывает все существенные вершины функции.

В связи с тем, что любому кубу комплекса K(f) можно поставить в соответствие конъюнктивный терм, для любого покрытия можно представить некоторую ДНФ булевой функции.

Частным случаем покрытия булевой функции является кубический комплекс K⁰(f), покрытие c⁰(f)=K⁰(f). Этому покрытию соответствует КДНФ.

Для примера покрытием является также

|0x1

|01x

c1(f)=K1(f)=|x10

|x11

|11x

этому покрытию соответствует ДНФ вида

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

f=x₁x₃vx₁x₂vx₂x₃vx₂x₃vx₁x₂ приведенная ДНФ не является минимальной.

В качестве минимальной еще одного покрытия можно использовать множество максимальных кубов

|0x1

c²(f)=|x1x

Действительно, куб 0х1 покрывает существенные вершины 0х1Й(001, 011), а куб x1xЙ(010, 011, 110, 111).

Множество максимальных кубов булевой функции всегда является ее покрытием.

Покрытие c²(f) соответствует ДНФ вида х₁х₃vx₂. Эта ДНФ является минимальной. Покрытие булевой функции, которое соответствует минимальной ДНФ называется минимальным покрытием.

Минимальное покрытие должно состоять только из максимальных кубов.

В частном случае все множество максимальных кубов является минимальным покрытием. Это справедливо для нашего примера. В общем случае множество максимальных кубов является избыточным и для получения минимального покрытия достаточно взять некоторое его подмножество.

Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)

(f=1)

|000 (1) |00x (1-2)

|001 (2) |x00 (1-3)

K⁰(f)=|100 (3) K¹(f)=|1x0 (3-4)

|110 (4) |11x (4-5)

|111 (5)

Для данного примера множество максимальных кубов совпадает с комплексом K¹(f). Z(f)=K¹(f)

Минимальными покрытиями являются

|00x |00x

с¹(f)=|11x c²(f)=|11x

|x00 |1x0

Из анализа покрытия существенных вершин максимальными кубами из комплекса K¹(f) следует :

Куб 00х должен обязательно включаться в покрытие, так как только он покрывает существенную вершину 001, аналогично 11х покрывает 111.

Множество максимальных кубов без которых не может быть образовано покрытие булевой функции называется ядром покрытия T(f)=|00x

|11x

Так как ядром покрытия кроме существенных вершин 001 и 111 покрываются также существенные вершины 000 и 110, то не покрытой ядром остается только существенная вершина 100. Для ее покрытия достаточно взять 1 из оставшихся максимальных кубов (х00 или 1х0).

Выводы :

Задача получения минимальной ДНФ сводится к задаче получения минимального покрытия.

Получение минимального покрытия реализуется в таком порядке : а) Находится множество максимальных кубов б) Выделяется ядро покрытия в) Из максимальных кубов, не вошедших в ядро, выбирается такое минимальное подмножество, которое покрывает существенные вершины, не покрытые ядром.

Цена покрытия.

Цена r-куба представляет собой количество несвязанных координат. Sr=n*r

Для оценки качества покрытия используют два вида цены покрытия :

m

S^a=еS_rN_r, где N_r - количество r-кубов, входящих в по-

r=0

крытие, m - максимальная размерность куба. Цена S^a представляет собой сумму цен кубов, входящих в покрытие.

S^b=S^a+k, где k - количество кубов, входящих в покрытие

m m

S^a =е(n-r) N_r ; S^b=е(n-r)(N_r+1)

r=0 r=0

Под минимальным покрытием понимают покрытие, обладающее минимальной ценой S^a по сравнению с любым другим покрытием этой функции.

Можно показать, что покрытие, обладающее минимальной ценой S^a обладает также и минимальной ценой S^b.

Пример : f³(x)=V(0,1,4,6,7)

(f=1)

C⁰(f)=K⁰(f) ; S^a=5*3=15 ; S^b=S^a+5=20

C¹(f)=K¹(f) ; S^a=4*2=8 ; S^b=S^a+4=12

C_min(f) : S^a=3*2=6 ; S^b=9

Цена покрытия S^a представляет собой количество букв, входящих в ДНФ, которая соответствует данному покрытию.

Цена S^b представляет для ДНФ сумму количества букв и количества термов.

Цена покрытия хорошо согласуется с ценой схемы по Квайну, которая строится по нормальной форме, соответствующей этому покрытию.

Для приведенной схемы цена по Квайну S_Q=9=S^b (9-число входов).

В принципе, между S_Q и ценами S^a и S^b существует соотношение S^a Ј S_Q Ј S^b Это неравенство имеет место при следующих допущениях по комбинационной схеме :

Схема строится по нормальной форме (ДНФ или КНФ).

Схема строится на элементах булевого базиса (И, ИЛИ).

На входы схемы можно подавать как прямые, так и инверсные значения входных переменных, представляющие собой значения аргументов булевой функции (схема с парафазными входами). Элементы НЕ (инвертора в схеме отсутствуют.

Нулевое покрытие булевой функции и получение минимальной КНФ.

Выше было рассмотрено покрытие булевой функции на наборах аргументов для которых функция равна единице.

Такие покрытия можно назвать единичными. Наряду с единичными покрытиями существуют и нулевые, для которых покрываются наборы аргументов, на которых функция равна нулю, то есть покрытие реализуется для существенных вершин, но не самой функции, а ее отрицания (инверсии).

Нулевое покрытие строится также как и единичное, но только для отрицания исходной функции.

f³(x)=V(0,1,4,6,7) f³(x)=&(2,3,5)

(f=1) (f=0) _ |010

K⁰( f )=|011

_ _ |101

C0( f )= K⁰( f ) S^a=9 S^b=12

_ _ _

K1( f )=|01x Z( f )=C_min( f )=|01x S^a=5 S^b=7

|101

Цена минимального нулевого покрытия оказалась меньше цены минимального единичного покрытия.

Так как заранее предсказать невозможно, какое из минимальных покрытий данной функции, единичное или нулевое, будет иметь меньшую цену, то для построения схемы, обладающей минимальной ценой по Квайну, целесообразно решать задачу минимзации в отношении обоих покрытий.

Импликанты булевой функции.

Системы импликант.

Решение задачи минимизации булевой функции методом Квайна и усовершенствованным методом Квайна-МакКласски базируется на понятиях импликант и их систем.

Определение : Булева функция g(x) называется импликантой булевой функции f(x), если для любого набора аргументов, на которых g(x)=1, f(x) также равна единице.

~ ~ ~

g( x )=1 => f( x )=1, где х - некоторый набор аргументов.

Свойства импликант :

Между импликантой и самой функцией существует отношение включения g(x)Мf(x).

Можно утверждать, что для любого набора аргументов, на котором функция равна нулю, ее импликанта также равна нулю.

Если g(x) и j(x) являются импликантами функции f(x), то их дизъюнкция также является импликантой этой функции.

Простейшими примерами импликант могут служить конъюнктивные термы, входящие в ДНФ данной функции.

Пример : для f³(x)=V(0,1,4,6,7) (#)

(f=1) _ _ _

импликантами являются х₁х₂х₃; х₁х₂х₃; х₁х₂;...

Произвольная дизъюнкция этих термов также является импликантой функции.

Определение : Простой (первичной) импликантой булевой функции называется конъюнктивный терм, который сам является импликантой этой функции, но никакая его собственная часть уже не является импликантой этой функции.

Под собственной частью терма понимается новый терм, полученный из исходного, путем вычеркивания произвольного числа букв.

Для данного примера функции (#) простыми импликантами являются : _ _ _

х₁х₂х₃; х₁х₂х₃; х₁х₂;...

Множеству простых импликант можно поставить в соответствие множество максимальных кубов.

Определение : Дизъюнкция всех простых импликант булевой функции представляет собой ДНФ этой функции, которая называется сокращенной - СДНФ.

Для функции (#) из приведенного примера

_ _ _ _ _

СДНФ : y= х₁х₂v х₁х₂vх₂х₃v х₁х₃

Понятие «сокращенное» присвоено ДНФ в том смысле, что она, как правило, содержит меньшее количество букв и термов по сравнению с КДНФ. Для нашего примера КДНФ содержит 15 букв и 5 термов, а СДНФ - 8 букв и 4 терма.

Аналогия между импликантами и кубическим представлением Булевой функции

Любому кубу из К(f) можно поставить в соответствие конъюнктивный терм который можно рассматривать как импликанту булевой функции .Любой простой импликанте булевой функции соответствует максимальный куб ,и в свою очередь множество всех простых импликант соответствует множеству Z(f) всех максимальных кубов К(f).

Таким образом можно провести некоторую аналогию между сокращенной СДНФ и Z(f).

В отношении импликант булевой функции также как и в отношении кубов соответствующих им существует отношение покрытия.

Принято считать ,что импликанта покрывает некоторую существенную вершину или в общем случае некоторый куб из К(f) ,если значение импликанты на наборе аргументов представляющем данную существенную вершину равно 1 или в общем случае значение импликанты равно 1 для всех существенных вершин покрываемых кубом из К(f).

ПРИМЕР : импликанта х₁х₂ покрывает существенные вершины (110,111) и в свою очередь покрывает куб 11х.

Определение :множество импликант булевой функции образует полную систему импликант ,если любая существенная вершина булевой функции покрывается хотя бы одной импликантой этого множества.

Если считать ,что в полную систему импликант включаются импликанты только в виде конъюнктивных термов и не включает импликанты в виде дизъюнктивных термов ,то полной системе импликант можно поставить в соответствие некоторое множество кубов из К(f) образующих покрытие булевой функции f .

Так например ,кубам из кубического комплекса К°(f) соответствует полная система импликант ,представляющая собой множество конституент 1 данной функции f. В свою очередь множеству максимальных кубов Z(f) ,естественно образующих покрытие булевой функции ,соответствует полная система простых импликант.

Определение :система простых импликант называется приведенной ,если она является полной ,а никакая ее собственная часть уже не образует полную систему импликант.

Для функции y= x ₁x ₂ Ъ₁₂Ъ₂₃ Ъ x ₁₃ (*)

система простых импликант

{ x ₁x ₂, ₁₂ , ₂₃ , x ₁₃ }

является полной ,но не является приведенной ,т.к. из нее можно исключить одну из импликант не нарушая полноты системы .{_{2 3} или x_{1 2}}

Определение: Дизъюнкция всех простых импликант ,образующих некоторую приведенную систему называется тупиковой ДНФ булевой функции или ТДНФ

Для функции (*) существуют две ТДНФ

1) у= x ₁x ₂Ъ₁₂Ъ₂₃

2) у= x ₁x ₂Ъ₁₂Ъ x ₁₃

В данном случае они совпадaют с минимальной ДНФ. Но в общем случае это утверждение не справедливо. Т.е. минимальная ДНФ обязательно является ТДНФ но не любая ТДНФ является МДНФ. Таким образом множество МДНФ является подмножеством ТДНФ.

Определение: простая импликанта булевой функции называется существенной если она и только она покрывает некоторую существенную вершину этой функции.

Множество существенных импликант соответствует максимальным кубам образующим ядро покрытия.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ действий для решения канонической задачи минимизации методом Квайна-Мак-Класки.

1)Нахождение множества максимальных кубов или простых импликант функции.

2)Выделение ядра покрытия.

3)Дополнение множества кубов ,принадлежащих ядру покрытия таким минимальным подмножеством из максимальных кубов ,не входящих в ядро покрытия ,для получения покрытия с минимальной ценой.

С точки зрения последовательного преобразования ДНФ булевой функции с целью их упрощения каноническая задача минимизации может быть представлена в виде КДНФ.

КДНФЮСДНФЮ{ТДНФ}Ю{МДНФ}

Распространение терминологии в отношении нулевого покрытия определяется на понятии импликанта как соответствие импликанте и на системе импликант.

ПРИМЕР: (минимизация булевой функции методом Квайна-Мак-Класки)

1) f⁴(x)=V(0,1,5,7,8,10,12,14,15)

(f=1)

f⁴(x)=&(2,3,4,6,9,11,13)

(f=0)

На этапе получения множества максимальных кубов целесообразно разделить множество ноль - кубов (К°(f)) на ряд подмножеств ,отличающихся количеством единиц .

В операцию склеивания в этом случае могут вступать только кубы ,относящиеся к соседним подмножествам ,то есть отличающиеся на единицу

м 000X ь

п X000 ч K°(f)=C°(f)

п 0X01 ч

Z(f)= н 01X1 э S^a=36

к X111 ъ S^b=45

к 111X ъ

о 1XX0 ю

K¹(f)=C¹(f) S^a=10*3=30

S^b=40

Z(f)=C³(f) S^a=20

S^b=27

При минимизации не полностью определенной булевой функции множество максимальных кубов определяется на объединении множества существенных вершин и безразличных наборов в целях получения кубов наибольшей размерности .

Определение ядра покрытия .

Выполнение этого этапа реализуется с помощью таблицы покрытий .

Kаждая строка таблицы - максимальный куб(простая импликанта).

Каждый столбец - существенная вершина булевой функции (безразличные наборы не включаются).

Элементы этой таблицы отражают отношение покрытия ,то есть на пересечении i-ой строки и j-ого столбца ставится некоторая отметка в том случае если i-ый максимальный куб покрывает j-ую вершину .

Таблицу покрытий иногда называют импликантной таблицей с учетом того ,что каждый максимальный куб соответствует простой импликанте а существенные вершины конституантам

единицы(нуля).

Существенные вершины

	макс. Кубы	0000	0001	0101	0111	1000	1010	1100	1110	1111
A	000X	*	*			|	|	|	|
B	X000	*				| *	|	|	|
C	0X01		*	*		|	|	|	|
D	01X1			*	*	|	|	|	|
E	X111				*	|	|	|	|	*
F	111X					|	|	|	|	*
	1XX0					| *	| *	| *	| *
		a	b	c	d	|	|	|	|	e

Для полностью определенной булевой функции количество меток в каждой строке равно числу ноль - кубов покрываемых кубом данной строки .Для не полностью определенной функции количество меток в строке зависит от количества безразличных наборов покрываемых данным кубом .Для нахождения кубов ,принадлежащих ядру покрытия в таблице ищутся столбцы с единственной меткой .Строка ,которой принадлежит эта метка определяет куб ядра .

Т(f)={1XX0}

Определение множества минимальных покрытий .

На этом этапе из множества максимальных кубов не принадлежащих ядру покрытия ,выделяются такие минимальные подмножества ,с помощью каждого из которых покрываются оставшиеся вершины (не покрытые ядром) .

Реализацию этого этапа целесообразно производить с использованием упрощенной таблицы.

В упрощенной таблице вычеркнуты все кубы принадлежащие ядру и вершины покрываемые ядром.

Для решения задачи 3-го этапа можно использовать один из 3-х методов или их комбинацию:

Метод простого перебора

Метод Петрика

Дальнейшее упрощение.

1)На данном этапе целесообразно ввести обозначение максимальных кубов и существенных вершин.

Максимальные кубы обозначены в таблице А...F

1-ый метод целесообразно применять для упрощенной таблицы небольшого объема .Этот метод не дает гарантии получения всех максимальных покрытий.

Для нашего примера все кубы входящие в упрощенную таблицу покрытий обладают одной размерностью(то есть необходимо выбрать минимальное количество этих кубов для покрытия всех оставшихся существенных вершин).

Из таблицы видно ,что минимальное число кубов равно трем.К возможным вариантам покрытий относятся:

м Tь м Tь

C _min¹(f)= кAъ C _min¹(f)= кBъ ,...

пCъ кCъ

оE ю оE ю

2)Достоинство этого метода-получение всех минимальных покрытий.

Метод базируется на составлении логического выражения , представляющего собой условие покрытия всех вершин из упрощенной таблицы покрытий и преобразования этого выражения .

Y=(AvB)(AvC)(CvD)(DvE)(EvF)=(AvBC)(DvCE)(EvF)=

=(AvBC)(DEvCEvDFvCEF)=

=(ADEvACEvADFvBCDEvBCEvBCDF)

Каждый из пяти конъюнктивных термов соответствует покрытию булевой функции(с учетом дополнения ядром),каждому из которых можно поставить в соответствие тупиковую ДНФ.

Последний терм не соответствует минимальному покрытию ,то есть данная функция имеет четыре минимальных покрытия.

Дальнейшее упрощение состоит в применение двух операций : а)Вычеркивание лишних строк.

б)Вычеркивание лишних столбцов.

Если множество меток i-й строки является подмножеством меток j-й строки и куб i имеет небольшую размерность, чем куб j, то из таблицы можно вычеркнуть i-ю строку так как существенные вершины покрываемые i-м кубом будут с гарантией покрыты j-м кубом.

В дальнейшем рекомендуется построить новую упрошенную таблицу.

В отношении новой таблицы можно использовать один из трех методов: 1) Метод простого перебора.

2)Метод Петрика.

3)Дальнейшее упрощение.

Функциональная полнота системы булевых функций.

Система булевых функций S={y₁,y₂,...,y_m}называется функционально полной ,если с помощью функций этой системы можно выразить любую сколь угодно сложную булеву функцию с использованием метода суперпозиции, возможно многократно.

Под суперпозицией в отношении булевых функций понимается подстановка одних функций в другие вместо их аргумента.

Примерами полных систем являются :

1)S₁ ={щ,&,Ъ}(булев базис)

Обоснованность утверждения о функциональной полноте этой системы базируется на возможности представления любой булевой функции в нормальной форме ,которая является комбинацией операций отрицания ,конъюнкции и дизъюнкции, применительно к аргументу этой функции.

Система S₁ ={щ,&,Ъ} является избыточной так как из нее можно удалить одну из функций (& или Ъ) без нарушения функциональной полноты.

Получаемые при этом системы S₂ ={щ,&} и S₃{щ,&,Ъ}обычно называют сокращенным булевым базисом .

Недостающие операции( Ъ в системе S₂и & в системе S₃ ) могут быть выражены с помощью следствий из законов

____

Де Моргана : x₁V x₂= ₁₂

_____

x₁ x₂= ₁ v₂

Функциональная полнота системы булевых функций называется минимальной ,если удаление из нее какой-либо функции приводит к нарушению свойства функциональной полноты.

Системы из одной функции S₄=Ї(стрелка Пирса)

S₅=|(штрих Шеффера)

которые принято называть универсальным базисом.

2)Базис Жегалкина S₆= {&, Е, 1}

Понятие функциональной полноты системы булевых функций связано с аналогичным понятием для системы логических элементов.

Эта связь заключается в следующем :

Если каждой функции из некоторой функционально полной системы сопоставить логический элемент, реализующий эту функцию ,то система логических элементов соответствующая некоторой функционально полной системе булевых функций естественным образом оказывается тоже функционально полной .

Задача синтеза комбинационных схем с использованием функционально полной системы логических элементов можно построить комбинационную схему реализующую любую наперед заданную ,сколь угодно сложную булеву функцию.

Доказательство функциональной полноты некоторой системы

булевых функций можно осуществлять одним из двух способов:

С использованием теоремы о функциональной полноте .

С использованием конструктивного подхода .

Теорема о функциональной полноте (Пост - Яблонского).

Для того, чтобы система булевых функций была функционально полной необходимо и достаточно чтобы она содержала хотя бы одну функцию не:

cохраняющую константу ноль

cохраняющую константу единица

линейную функцию

монотонную функцию

самодвойственную функцию.

Замечательные классы булевых функций.

Булева функция называется сохраняющей константу ноль , если на нулевом наборе аргументов она принимает значение равное нулю, то есть f(0,0,0,...,0) = 0;

В противном случае функция относится к классу не cохраняющих константу ноль.

К функциям ,сохраняющим константу ноль относятся

f(x₁,x₂)= x₁ v x₂

f(x₁,x₂)= x_{1 *} x₂

К функциям не cохраняющим константу ноль относятся

f(x)= и f(x₁,x₂)=x₁~x₂

2.Булева функция называется сохраняющей константу единица , если на единичном наборе аргументов она принимает значение равное единице, то есть f(1,1,1,...,1)= 1;

В противном случае функция относится к классу не cохраняющих константу единица.

К функциям ,сохраняющим константу единица относятся

f(x₁,x₂)= x₁ v x₂

f(x₁,x₂)= x_{1 *} x₂

К функциям не cохраняющим константу единица относятся

f(x)= и f(x₁,x₂)=x₁Еx₂