Булева функция называется линейной если она представима полиномом Жегалкина первой степени

3. Булева функция называется линейной если она представима полиномом Жегалкина первой степени.

В булевой алгебре доказывается теорема о возможности представления любой булевой функции от n переменных с помощью полинома Жегалкина n-ой степени.

В общем случае полином имеет вид :

fⁿ (x)= K₀ ЕK₁x₁ Е...ЕK_n x_n Е...

...ЕK_n+1x₁x₂ ЕK_n+2x₁x₃ Е...ЕK_n+lx_n-1x_n Е...

...

...ЕK_n+mx₁x₂...x_n

K₀ ,K₁ ,K_n+m -являются коэффициентами и представляют собой логические константы нуля или единицы.

В алгебре Жегалкина одноименной полином можно считать канонической нормальной формой для булевой алгебры.

Полином Жегалкина является линейным (1-ой степени) если все коэффициенты общего полинома ,начиная с K_n+1=K_n+2 =...=K_n+m =0

В отношении функции от 2-х переменных полином Жегалкина имеет вид (линейный): f²(x)=K₀ЕK₁x₁ЕK₂x₂

Примерами линейных функций являются:

y= x₁Еx₂ (K₀=0,K₁=K₂=1)

_____

y= x₁~x₂=x₁Еx₂=1Еx₁Еx₂ (K₀=K₁=K₂)

y= =1Еx₁ (K₀=K₁=1 ,K₂=0)

Примеры нелинейных функций:

y= x₁*x₂

____

y= x₁lx₂ =x₁*x₂=1Еx₁*x₂

4.Булева функция называется монотонной если при возрастании наборов аргументов она принимает неубывающие значения.

A=(a₁,a₂,...,a_n)>B=(b₁,b₂,...,b_n)

f(A)іf(B)

Между наборами аргументов А и В имеет место отношение возрастания в том и только том случае , если имеет место отношение не убывания для всех компонент этого набора:

___

a_iіb_i (i=1, n )

и по крайней мере для одной компоненты имеет место отношение возрастания.

Примеры наборов ,для которых имеет место отношение возрастания: (1011)>(0011)

(1011)>(0001)

(0001)>(0000)

Пример несопоставимых наборов (1011) и (0111)

В отношении функции от 2-х переменных несопоставимыми являются наборы (01) и (10)

Пример немонотонных функций: y=

y= x₁Еx₂

5.Две булевы функции fⁿ(x) и gⁿ(x) называются двойственными если для любых наборов аргументов выполняется равенство

____

fⁿ(x) =gⁿ(x) то есть функции f и g на противоположных наборах аргументов х и принимает противоположные значения .

Два набора аргументов называются противоположными если любая из их компонент принимает противоположные значения.

x=(0101) =(1010)

Булева функция называется самодвойственной если она является двойственной по отношению к самой себе то есть принимает противоположные значения на противоположных наборах аргументов.

Примером самодвойственной функции является : у=

Примеры не самодвойственных функций: у=х₁*х₂

у=х₁vх₂

у=х₁Ех₂

Принадлежность базовых булевых функций и логических констант к замечательным классам представлена таблицей.

К₀ + сохраняет константу ноль ,- не сохраняет константу ноль

К₁ + сохраняет константу единица ,- не сохраняет константу

К_л + линейная ,- нелинейная

К_м + монотонная , - не монотонная

К_с + самодвойственная ,- не самодвойственная

Функция	К0	К1	Кл	Км	Кс
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
	-
х1*х2	+	+	-	+	-
х1vх2	+	+		+	-
х1Ех2	+	-	+	-	-
х1~х2	-		+		-
х1Dх2	+			-
х1®х2	-
х1|х2	-		-
х1Їх2	-

Конструктивный подход к доказательству функциональной полноты некоторой системы булевых функций.

Подход основан на доказательстве реализуемости функций булева базиса с помощью функций этой системы.

При этом естественно предполагать ,и это действительно так, что булев базис образует функционально полную систему.

Пример :S₅={|}

_ ____

x =x * x= x|x

====

x₁*x₂ = x₁*x₂ =( x₁|x₂)|( x₁|x₂)

______

x₁vx₂=₁ *₂ =( x₁|x₁)|( x₂|x₂)

Синтез комбинационных схем.

Понятие логического элемента.

Типовые логические элементы и их обозначения на функциональных схемах.

Определение: как правило ,под логическим элементом понимается комбинационная схема ,реализующая некоторую элементарную булеву функцию.

Любой логический элемент характеризуется :

Наличием одного или нескольких входов на которые подаются входные сигналы( входные переменные).

Наличием выхода ,на котором формируется выходной сигнал

(выходная переменная).

Определенной функцией ,которая отображает зависимость выходного сигнала от входных.

К основным типам логических элементов относятся:

Инвертор( НЕ)

Дизъюнктор (ИЛИ)

Конъюнктор (И)

Дизъюнктор с отрицанием (ИЛИ - НЕ)

Конъюнктор с отрицанием (И - НЕ)

Исключительное ИЛИ

(единичный сигнал на выходе имеет место в том и только том случае если на

одном и только одном входе присутствует единичный сигнал)

Сумматор по модулю 2

1)Элементы 1,2,3 образуют булев базис.

2)Элементы 1 и 2 или 1 и 3 образует сокращенный(неполный)

булев базис.

3)Элементы 4 или 5 образуют универсальный базис.

4)Элементы 3 и 7 образуют базис Жегалкина.

Функции элементов 6 и 7 совпадают при наличии только двух входов.

Понятие двоичного сигнала.

Способы его кодирования.

В связи с использованием двух значений логики в логических схемах как входные ,так и выходные сигналы в этих схемах представляются с помощью так называемого двоичного сигнала - особенностью которого является наличие двух четко различимых уровней ,отождествляемых с нулем и единицей.

В зависимости от того ,какой уровень сигнала сопоставляется с логическим нулем а какой с логической единицей различают два способа кодирования двоичных сигналов:

1)Позитивное кодирование (положительное)

высший уровень сигнала - 1 ,низший - 0

2)Негативное кодирование (отрицательное)

высший уровень сигнала - 0 ,низший - 1

При изменении способа кодирования двоичного сигнала функция одной и той же электронной схемы ,реализующей некоторый логический элемент меняется на противоположную.

Понятие логической системы.

Типы логических систем.

Логическая схема представляет собой совокупность логических элементов и связей между ними.

Соединения логических элементов в рамках единой логической системы должны удовлетворять следующим правилам:

1)К любому входу логического элемента могут быть подключены:

a) выход любого другого логического элемента( в частном случае ,того же самого)

б) входной сигнал (входная переменная)

в) логическая константа(0 или 1)

В реальных электронных схемах подача логической константы на вход элемента реализуется либо заземлением либо подключением этого входа обязательно через резистор к шине питания.

2)Выход любого логического элемента схемы может быть подключен к входу другого логического элемента или представлять собой выходной сигнал схемы .В частном случае возможна комбинация того и другого.

Логические схемы разделяются на два типа :

1)Комбинационные

2)Последовательносные

В комбинационных схемах значение выходного сигнала в любой момент времени зависит только от комбинации входных сигналов (в этот же момент времени с учетом задержки распространения сигнала по элементам схемы)

С учетом этой задержки значение выходного сигнала по времени запаздывает на время задержки по сравнению с моментом изменения входных сигналов.

Функционирование комбинационной схемы может быть описано булевой функцией, отражающей зависимость выходного сигнала схемы, как функции от входных сигналов , как аргумент этой функции.

Для комбинационных схем с несколькими выходами эта зависимость отражается системой булевых функций.

Пример комбинационной схемы на элементах булева базиса :

В последовательносных схемах выходные сигналы в любой момент времени зависят не только от комбинации входных сигналов в данный момент времени ,но и от предыстории их изменения ,то есть от последовательности входных сигналов во времени. Как правило последовательносные схемы характеризуются некоторым внутренним строением ,от которого зависит значение выходного сигнала(ов).

Внутреннее состояние такой схемы сохраняется на запоминающих элементах (триггерах) ,в связи с чем ,схемы этого типа называются схемами с памятью.

В общем случае поседовательносная схема представляет собой некоторый цифровой автомат.

Пример последовательносной схемы: (универсальный базис И-НЕ)

Последовательносные схемы характеризуются наличием так называемых петель ,по которым выход некоторого элемента соединяется со входом этого же самого элемента (через другие элементы схемы).

Основные параметры комбинационной схемы.

Основными параметрами комбинационных схем (КС) является стоимость и быстродействие ,как правило при построении абстрактных КС не привязанных к конкретной системе элементов цена схемы определяется в смысле Квайна. Быстродействие схемы ,как правило оценивается задержкой распространения сигналов от входов схемы к ее выходу. Для абстрактных КС эту задержку принято считать в виде : Т=кt ,t-задержка на одном логическом элементе,к-максимальное количество логических элементов ,через которые проходит сигнал от входов к выходу.

Как правило задержка схемы сопоставляется с числом уровней этой схемы. Для этой цели все элементы схемы распределяются по уровням. Уровень элемента ,на выходе которого формируется выходной сигнал схемы совпадает с количеством уровней схема и следовательно с ее задержкой.

Для приведенной схемы элементы 1,2,3 относятся к первому уровню.

Элементы 4,5 ко второму уровню.

Элемент 6 к третьему уровню.

Элемент 7 к четвертому уровню.

Задачи анализа и синтеза комбинационных схем.

В общем виде задача анализа ,комбинационных схем сводится к определению функции ,реализуемой заданной схемой ,в частном случае задача анализа состоит в определении реакции заданной схемы на определенную комбинацию входных сигналов.

Для определения функции схемы целесообразно использовать метод подстановки ,его идея состоит в следующем: Выходы логических элементов обозначаются последовательно продвигаясь от выхода схемы к входам, осуществляют подстановку в выходную функцию промежуточных переменных, как аргумент, до тех пор ,пока в выражении функции все промежуточные переменные не будут заменены на входные переменные:

__

y=y₁v y₂=₄v y₃y₆=x₁x₂v(y₄v y₅)x₄x₅=

___

=x₁x₂v(x₁x₂v₃)x₄x₅

Определим реакцию схемы на входной набор.

Например (00000) у=1

Задача синтеза состоит в построении комбинационной схемы по заданному закону функционирования.

При решении этой задачи необходимо учитывать следующие моменты:

Синтезируемая схема должна по возможности содержать минимум оборудования. В связи с этим актуальной задачей является минимизация заданной булевой функции. При решении этой задачи целесообразно получить как МДНФ так и МКНФ.

Как правило ,синтезируемая схема строится на логических элементах ,принадлежащих некоторому базису. Естественно ,что используемая система элементов должна обладать свойством функциональной полноты ,то есть быть достаточной для построения на ее основе комбинационной схемы ,реализующую любую наперед заданную булеву функцию. Такими функционально полными системами логических элементов являются: 1.{И,ИЛИ,НЕ} 2.{И,НЕ} 3.{ИЛИ,НЕ} 4.{И-НЕ} 5.{ИЛИ-НЕ} 6.{И,М2}

Как правило при решении задачи синтеза стараются добиться экстремального значения одного из параметров схемы :минимум цены или максимум быстродействия (минимум задержки).В тех случаях ,когда критерием эффективности схемы является минимум цены по Квайну над минимальными формами проводят дополнительные преобразования ,путем решения задач факторизации и возможно декомпозиции булевой функции. Как правило минимальная форма не дает абсолютного минимума стоимости ,чего можно добиться решением задач факторизации и декомпозиции. Если критерием эффективности схемы является минимальная задержка ,то следует иметь в виду ,что факторное преобразование и декомпозиция булевой функции в общем случае уменьшает цену схемы и увеличивает ее задержку. В более сложном случае схема оптимизируется по одному из показателей при наличии ограничения на второй. Примером подобной постановки задачи синтеза является: Синтезировать схему с минимальной ценой по Квайну ,чтобы ее задержка не превышала 4t.

Необходимо учитывать ,в каком виде представлены входные сигналы схемы: только в прямом или и в прямом и в обратном. В первом случае строится комбинационная схема с однофазными входами. Во втором случае с парафазными. В реальных комбинационных схемах входные сигналы представляют собой значение выходов регистров. Например при построении комбинационного сумматора входные сигналы снимаются с регистров слагаемого. При интегральной реализации регистров в виде СИС в целях минимизации числа выходов выходные сигналы регистров как правило представляются только в прямом виде ,что делает актуальными схемы с однофазными входами.

При построении схем в реальной системе элементов необходимо учитывать ряд конструктивных ограничений ,основными из которых являются:

а) Коэффициент объединения по входу, который представляет собой ограничение на число входов в элемент. Может принимать значения 2,3,4,8,16.

б) Коэффициент разветвления по выходам который определяет максимальное число логических элементов, которые можно подключить к выходу элемента в условиях его нормального функционирования. Этот коэффициент определяет нагрузочную способность. Варьируется от 10 до 30.

В реальных системах элементов однотипные элементы объединяются в модули ,реализуемые одной интегральной схемой с малым уровнем интеграции(МИС). В связи с этим при построении схем в реальной системе элементов необходимо минимизировать не столько число элементов и входов в них сколько число модулей ,из которых компонуется схема.

Как правило в большинстве реальных систем элементов наряду с простыми логическими элементами используются также сдвоенные элементы реализующие составную булеву функцию. Типичным примером может служить элемент И-ИЛИ-НЕ.

В реальных системах элементов как правило используется значительное разнообразие логических элементов, относящихся к разным базисам. Тем не менее построение схемы в рамках определенного базиса является достаточно актуальной задачей, так как позволяет уменьшить номенклатуру используемых элементов.

Построение комбинационных схем (КС) по минимальным нормальным формам в различных базисах.

Булев Базис (И, ИЛИ, НЕ)

_ _ _ _ _ _ _

y=x₁x₂x₃vx₁x₂x₄vx₁x₅vx₆ (МДНФ)

-------- ------- -----

и (3) и (3) и (2)

Схема с парафазными входами

S_Q=3+3+2=12 S^a