Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Кафедра «Высшей математики»

Реферат:

Численное интегрирование по методу Симпсона

Выполнил: Матвеев Ф.И.

Проверила: Бурлова Л.В.

Улан-Удэ.2002

Содержание.

1.Численные методы интегрирования

 2.Вывод формулы Симпсона

3.Геометрическая иллюстрация

4.Выбор шага интегрирования

 5.Примеры

 

1. Численные методы интегрирования

 

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

 посредством ряда значений подынтегральной функции .

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции  полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции  сплайном-кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.


 

суммарная погрешность

погрешность усечения

погрешность округления

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества

разбиений отрезка . Однако при этом возрастает погрешность округления

за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.

 

2. Вывод формулы Симпсона

 

Если для каждой пары отрезков  построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию  на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с  в точках :

Проинтегрируем :

Формула:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла  значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми ,  и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у  на отрезке  существуют непрерывные производные . Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку  непрерывна на  и функция  неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку  - непрерывная функция; ).

Дифференцируя  дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для  другое выражение:

, где

Из обеих оценок для  следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

, .

Если отрезок  интегрирования слишком велик, то его разбивают на  равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , ,..., применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

(1)

(2)

Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

, (3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать  большую точность.

Например, для функции форма трапеции при  для  дает точный результат , тогда как по формуле Симпсона получаем


Информация о работе «Метод Симпсона»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 10961
Количество таблиц: 5
Количество изображений: 3

Похожие работы

Скачать
13869
0
5

... значение разности текущего и предыдущего значений интегрирования меньше чем 0.001, если да, то выход из цикла, если нет, то переход на блок 13. Блок 15. Вывод результатов, полученных при вычислении интеграла методом Симпсона на экран. Блок 16. Конец программы. 5. Текст программы program tr_s; uses crt,graph; var a,b:real; { Границы отрезка } r,r2:real; { Предыдущее и ...

Скачать
1538
0
0

... функции по квадратной формуле: где коэффициенты - действительные числа и узлы принадлежат k=1, 2, ... , n. Вид суммы определяет метод численного интегрирования, а разность - погрешность метода. Для метода Симпсона , (k=1, 2, ..., 2n). Правая часть формулы Симпсона является интегральной суммой и при стремится к данному интегралу. Однако при фиксированном h каждая из них ...

Скачать
5985
0
0

TITLE : Расчет интеграла методом Симпсона (парабол) * .DESCR : * : * .PARAMS : double m_Simpson (double (*func) (double, double), * : double t_fix, double t_limit, int N); * : double (*func) (double, double) - подынтегральная ф-я * : double t_fix - фиксированный первый аргумент * : double t_limit - верхний предел интегрирования, * : нижний ...

Скачать
21512
1
14

... міняють оператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибка називається похибкою квадратурної формули. Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннями інтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію  заміняємо інтерполюємою функцією , а потім приблизно припускаємо [4]:  (1.2) Функція  повинна бути ...

0 комментариев


Наверх