Навигация
3. Геометрическая иллюстрация
 |
На отрезке 
длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки 
,
. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми
, принимают равной интегралу
.
Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.
Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.
(4)
Это формула Симпсона «трех восьмых».
Для произвольного отрезка интегрирования 
формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем (
точек).
, m=2,3,... (5)
- целая часть
Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков :
(6)
- количество отрезков разбиения;
- степень используемого полинома;
- производная -го порядка в точке 
;
- шаг разбиения.
В таблице 1 выписаны коэффициенты 
. Каждая строка соответствует одному набору промежутков 
узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.
Таблица 1:
| k | C0 | A0 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | |
| 2 |
| 1 | 4 | 1 | |||||
| 1 | 4 | 1 | |||||||
| 1 | 4 | 1 | |||||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | å |
Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде: 
(7),
где 
- коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции;
h - шаг интегрирования;
p - порядок метода.
Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.
(8)
(8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.= 
+Ro (9), 
уточненное значение интеграла 
.
Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом 
, то есть:
из системы трех уравнений:
с неизвестными I,А и p получаем :
(10)
Из (10) следует 
(11)
Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла и
, вычисляемые по методу трапеции с шагами 
и 
, связаны соотношением:
(12)
Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и , справедливы соотношения:
,
(13)
Похожие работы
... значение разности текущего и предыдущего значений интегрирования меньше чем 0.001, если да, то выход из цикла, если нет, то переход на блок 13. Блок 15. Вывод результатов, полученных при вычислении интеграла методом Симпсона на экран. Блок 16. Конец программы. 5. Текст программы program tr_s; uses crt,graph; var a,b:real; { Границы отрезка } r,r2:real; { Предыдущее и ...
... функции по квадратной формуле: где коэффициенты - действительные числа и узлы принадлежат k=1, 2, ... , n. Вид суммы определяет метод численного интегрирования, а разность - погрешность метода. Для метода Симпсона , (k=1, 2, ..., 2n). Правая часть формулы Симпсона является интегральной суммой и при стремится к данному интегралу. Однако при фиксированном h каждая из них ...
TITLE : Расчет интеграла методом Симпсона (парабол) * .DESCR : * : * .PARAMS : double m_Simpson (double (*func) (double, double), * : double t_fix, double t_limit, int N); * : double (*func) (double, double) - подынтегральная ф-я * : double t_fix - фиксированный первый аргумент * : double t_limit - верхний предел интегрирования, * : нижний ...
... міняють оператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибка називається похибкою квадратурної формули. Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннями інтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію заміняємо інтерполюємою функцією , а потім приблизно припускаємо [4]: (1.2) Функція повинна бути ...
0 комментариев