Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

2.3      Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Правильная или наиболее удачная экономико-математическая постановка задачи в значительной степени определяет полезность рекомендаций по совершенствованию систем массового обслуживания в коммерческой деятельности.

В связи с этим необходимо тщательно проводить наблюдение за процессом в системе, поиска и выявления существенных связей, формирования проблемы, выделения цели, определения показателей и выделения экономических критериев оценки работы СМО. В этом случае в качестве наиболее общего, интегрального показателя могут выступать затраты, с одной стороны, СМО коммерческой деятельности как обслуживающей системы, а с другой – затраты заявок, которые могут иметь разную по своему физическому содержанию природу.

Повышение эффективности в любой сфере деятельности К. Маркс в конечном счете рассматривал как экономию времени и усматривал в этом один из важнейших экономических законов. Он писал, что экономия времени, равно как и планомерное распределение рабочего времени по различным отраслям производства, остается первым экономическим законом на основе коллективного производства. Этот закон проявляется во всех сферах общественной деятельности.

Для товаров, в том числе и денежных средств, поступающих в коммерческую сферу, критерий эффективности связан со временем и скоростью обращения товаров и определяет интенсивность поступления денежных средств в банк. Время и скорость обращения, являясь экономическими показателями коммерческой деятельности, характеризирует эффективность использования средств, вложенных в товарные запасы. Товарооборачиваемость отражает среднюю скорость реализации среднего товарного запаса. Показатели товарооборачиваемости и уровня запасов тесно связаны известным моделями. Таким образом, можно проследить и установить взаимосвязь этих и других показателей коммерческой деятельности с временными характеристиками.

Следовательно, эффективность работы коммерческого предприятия или организации складывается из совокупности времени выполнения отдельных операций обслуживания, в то же время для населения затраты времени включают время на дорогу, посещение магазина, столовой, кафе, ресторана, ожидание начало обслуживания, ознакомление с меню, выбор продукции, расчет и т.д. Проведенные исследования структуры затрат времени населения свидетельствует о том, что значительная его часть расходуется нерационально. Заметим, что коммерческая деятельность в конечном счете направлена на удовлетворение потребности человека. Поэтому усилия моделирования СМО должны включать анализ затрат времени по каждой элементарной операции обслуживания. С помощью соответствующих методов следует создавать модели связи показателей СМО. Это обусловливает необходимость наиболее общие и известные экономические показатели, такие как товарооборот, прибыль, издержки обращения, рентабельность и другие, увязывать в экономико-математических моделях с дополнительно возникающей группой показателей, определяемых спецификой обслуживающих систем и вносимых собственно спецификой теории массового обслуживания.

Например, особенностями показателей СМО с отказами являются: время ожидания заявок в очереди Т_оч=0, поскольку по своей природе в таких системах существование очереди невозможно, то L_оч=0 и, следовательно, вероятность ее образования Р_оч=0. По числу заявок k определятся режим работы системы, ее состояние: при k=0 – простой каналов, при 1<k<n – обслуживание заявок, при k>n – обслуживание и отказ. Показателями таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р_отк, вероятность обслуживания Р_обс, среднее время простоя канала t_пр, среднее число занятых n_з и свободных каналов n_св, среднее обслуживания t_обс, абсолютная пропускная способность А.

Для СМО с неограниченным ожиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки Р_обс=1, поскольку длина очереди и время ожидания начала обслуживания не ограничены, т.е. формально L_оч→∞ и Т_оч→∞. В системах возможны следующие режимы работы: при k=0 наблюдается простой каналов обслуживания, при 1<k≤n – обслуживание и при k>n – обслуживание и очередь. Показателями таких эффективности таких СМО являются среднее число заявок в очереди L_оч, среднее число заявок в системе k, среднее время пребывания заявки в системе Т_смо, абсолютная пропускная способность А.

В СМО с ожиданием с ограничением на длину очереди, если число заявок в системе k=0, то наблюдается простой каналов, при 1<k≤n- обслуживание, при n<k<n+m – обслуживание и очередь и при k>n+m- обслуживание, очередь и отказ в ожидании обслуживания. Показателями эффективности таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р_отк- вероятность обслуживания Р_обс, среднее число заявок в очереди L_оч, среднее число заявок в системе L_смо среднее время пребывания заявки в системе Т_смо, абсолютная пропускная способность А.

Таким образом, перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом: среднее время обслуживания – t_обс; среднее время ожидания в очереди – Т_оч; среднее пребывания В СМО – Т_смо; средняя длина очереди - L_оч; среднее число заявок в СМО- L_смо; количество каналов обслуживания – n; интенсивность входного потока заявок – λ; интенсивность обслуживания – μ; интенсивность нагрузки – ρ; коэффициент нагрузки – α; относительная пропускная способность – Q; абсалютная пропускная способность – А; доля времени простоя в СМО – Р₀; доля обслуженных заявок – Р_обс; доля потерянных заявок – Р_отк, среднее число занятых каналов – n_з; среднее число свободных каналов - n_св; коэффициент загрузки каналов – К_з; среднее время простоя каналов - t_пр.

Следует заметить что, иногда достаточно использовать до десяти основных показателей, чтобы выявить слабые места и разработать рекомендации по совершенствованию СМО.

Это часто связано с решением вопросов согласованной рабоиы цепочки или совокупностей СМО.

Например, в коммерческой деятельности необходимо учитывать еще и экономические показатели СМО: общие затраты – С; издержки обращения – С_ио, издержки потребления – С_ип, затраты на обслуживание одной заявки – С₁, убытки, связанные с уходом заявки, - С_у1, затраты на эксплуатацию канала – С_к, затраты простоя канала – С_пр, капитальные вложения – С_кап, приведенные годовые затраты – С_пр, текущие затраты – С_тек, доход СМО в единицу времени – Д₁

В процессе постановки задач необходимо раскрыть взаимосвязи показателей СМО, которые по своей базовой принадлежности можно разделить на две группы: первая связана с издержками обращения С_ио, которые определяются числом занятых обслуживанием каналов, затратами на содержание СМО, интенсивностью обслуживания, степенью загрузки каналов, эффективностью их использования, пропускной способностью СМО и др.; вторая группа показателей определяется издержками собственно заявок С_ип, поступающих на обслуживание, которые образуют входящий поток, ощущают эффективность обслуживания и связаны с такими показателями, как длина очереди, время ожидания обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, время пребывания заявки в СМО и др.

Эти группы показателей противоречивы в том смысле, что улучшение показателей одной группы, например, сокращение длины очереди или времени ожидания в очереди путем увлечения числа каналов обслуживания (официантов, поваров, грузчиков, кассиров), связано с ухудшением показателей группы, поскольку это может привести к увеличению времени простоев каналов обслуживания, затрат на их содержание и т.д. В связи с этим формализации задач обслуживания вполне естественно стремление построить СМО таким образом, чтобы установить разумный компромисс между показателями собственно заявок и полнотой использования возможностей системы. С этой целью необходимо выбрать обобщенный, интегральный показатель эффективности СМО, включающий одновременно претензии и возможности обеих групп. В качестве такого показателя может быть выбран критерий экономической эффективности, включающий как издержки обращения С_ио, так и издержки заявок С_ип, которые будут иметь оптимальное значение при минимуме общих затрат С. На этом осонвании целевую функцию задачи можно записать так:

С= (С_ио+С_ип) →min

Поскольку издержки обращения включают затраты, связанные с эксплуатацией СМО – С_экс и простоем каналов обслуживания - С_пр, а издержки заявок включают потери, связанные с уходом не обслуженных заявок – С_нз, и с пребыванием в очереди – С_оч, тогда целевую функцию можно переписать с учетом этих показателей таким образом:

С={(С_прn_св+С_экзn_з)+С_очР_обсλ(Т_оч+t_обс)+С_изР_откλ}→min.

В зависимости от поставленной задачи в качестве варьируемых, т.е управляемых, показателей могут быть: количество каналов обслуживания, организация каналов обслуживания (параллельно, последовательно, смешанным образом), дисциплина очереди, приоритетность обслуживания заявок, взаимопомощь между каналами и др. Часть показателей в задаче фигурирует в качестве неуправляемых, которые обычно являются исходными данными. В качестве критерия эффективности в целевой функции могут быть так же товарооборот, прибыль, или доход, например, рентабельность, тогда оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся очевидно, уже при максимизации, как в предыдущем варианте.

В некоторых случаях следует пользоваться другим вариантом записи целевой функции:

С={С_экзn_з+C_пр(n-n _з)+C_отк*Р_отк*λ+С_сист* n_з}→min

В качестве общего критерия может быть выбран, например, уровень культуры обслуживания покупателей на предприятиях, тогда целевая функция может быть представлена следующей моделью:

К_об=[(З_пу*К_у)+(З_пв*К_в)+(З_пд*К_д)+(З_пз*К_з)+(З_по*К₀)+(З_кт*К_кт)]*К_мп,

где З_пу – значимость показателя устойчивости ассортимента товаров;

К_у - коэффициент устойчивости ассортимента товаров;

З_пв – значимость показателя внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

К_в – коэффициент внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

З_пд – значимость показателя дополнительного обслуживания;

К_д - коэффициент дополнительного обслуживания;

З_пз - значимость показателя завершенности покупки;

К_з - коэффициент завершенности покупки;

З_по - значимость показателя затрат времени на ожидание в обслуживании;

К_о – показатель затрат времени на ожидание обслуживания;

З_кт – значимость показателя качества труда коллектива;

К_кт – коэффициент качества труда коллектива;

К_мп – показатель культуры обслуживания по мнению покупателей;

Для анализа СМО можно выбирать и другие критерии оценки эффективности работы СМО. Например, в качестве такого критерия для систем с отказами можно выбирать вероятность отказа Р_отк, значение которого не превышало бы заранее заданной величины. Например, требование Р_отк<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

После построения целевой функции необходимо определить условия решения задачи, найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели, построить или подобрать совокупность моделей взаимосвязи всех показателей для анализируемого типа СМО, чтобы в конечном итоге найти оптимальные значения управляемых показателей, например количество поваров, официантов, кассиров, грузчиков, объемы складских помещений и др

Глава III. Модели систем массового обслуживания

Похожие работы

Имитационное моделирование системы массового обслуживания

Скачать

48014

3

9

... как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий. Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля ...

Моделирование системы массового обслуживания

Скачать

20467

0

10

... каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных ...

Разработка средств моделирования систем

Скачать

94801

7

6

... 6.  Петухов О.А. , Морозов А.В. , Петухова Е.О. Моделирование системное, имитационное, аналитическое. Учебное пособие – Санкт-Петербург 2008 7.  Норенков И.П., Федорук Е.В.Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Методические указания – Москва 1999 8.  Кутузов О.И., Татарникова Т.М., Петров К.О. Распределенные информационные системы управления. Учебное пособие – Санкт-Петербург ...

Имитационное моделирование работы систем массового обслуживания

Скачать

6624

2

3

... *0,1*25 – 1*,09 = 2148,2 ден.ед. Таким образом, максимальная прибыль достигается при установлении трех телефонных линий. Программа имитационного моделирования для оптимального режима работы примет вид: имитационный моделирование массовый обслуживание Результаты расчетов функциональных характеристик СМО: Характеристика Значение l 1/0,67 = 1,5 зв./мин. m 60/2=30 зв./мин. ...