Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью μ.

Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (3.1).

Переходы СМО из одного состояния S₀ в другое S₁ происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратный переход – под действием потока обслуживания с интенсивностью μ.

 λ

 μ

S₀ – канал обслуживания свободен; S₁ – канал занят обслуживанием;

Рис. 3.1 Размеченный граф состояний одноканальной СМО

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности р₀(t) состояния S₀:

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S₀, тогда р₀(0)=1, р₁(0)=0.

В этом случае решение дифференциального уровнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

Тогда нетрудно получить выражение для вероятности определения вероятности занятости канала:

Вероятность р₀(t) уменьшается с течением времени и в пределе при t→∞ стремится к величине

а вероятность р₁(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t→∞ к величине

Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

Функции р₀(t) и р₁(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени  характерной для рассматриваемой системы.

С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3τ.

Вероятность р₀(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.

Действительно, р₀(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из них обслуживается λр₀ заявок.

Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной

В пределе при t→∞ практически уже при t>3τ значение относительной пропускной способности будет равно

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t→∞, равна:

Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

а общее число не обслуженных заявок равно

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

Похожие работы

Имитационное моделирование системы массового обслуживания

Скачать

48014

3

9

... как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий. Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля ...

Моделирование системы массового обслуживания

Скачать

20467

0

10

... каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных ...

Разработка средств моделирования систем

Скачать

94801

7

6

... 6.  Петухов О.А. , Морозов А.В. , Петухова Е.О. Моделирование системное, имитационное, аналитическое. Учебное пособие – Санкт-Петербург 2008 7.  Норенков И.П., Федорук Е.В.Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Методические указания – Москва 1999 8.  Кутузов О.И., Татарникова Т.М., Петров К.О. Распределенные информационные системы управления. Учебное пособие – Санкт-Петербург ...

Имитационное моделирование работы систем массового обслуживания

Скачать

6624

2

3

... *0,1*25 – 1*,09 = 2148,2 ден.ед. Таким образом, максимальная прибыль достигается при установлении трех телефонных линий. Программа имитационного моделирования для оптимального режима работы примет вид: имитационный моделирование массовый обслуживание Результаты расчетов функциональных характеристик СМО: Характеристика Значение l 1/0,67 = 1,5 зв./мин. m 60/2=30 зв./мин. ...