Разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8.  - подгруппа примарного индекса  конечной группы , то .

9.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда  либо -группа, либо группа Шмидта , где  - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа  либо -группа, либо изоморфна  и  делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс  замкнут относительно прямых произведений и  разрешим. Если в конечной неразрешимой группе  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  изоморфна одной из следующих групп:  и  - простое число или 9;  или  и .

1. конечная неразрешимая группа  принадлежит , то , где , а  и .

2. класс  замкнут относительно прямых произведений, и  - неразрешимая группа, принадлежащая . Если  - минимальная нормальная в  подгруппа, то либо , либо  - простая неабелева группа,  и , где .

3. класс  разрешим и  - простая неабелева группа из , то:

1) , ,  и  или  - простое число;

2) ,  и  - простое число;

3) , , ;

4) ,  или ,  или  соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

A. Пусть  - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе  все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)  - 2-группа;

2)  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

Здесь  - центр группы ,  - наибольшая нормальная в  подгруппа нечетного порядка. Через  обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1.  - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы  также принадлежит  осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа, но  не содержится в . Поэтому  не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через  обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа  называется -свободной, если в ней нет подгрупп  и  таких, что  нормальна в  и  изоморфна .

2. , то ----свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа  индекса 2 в  и  изоморфна . Так как  несверхразрешима, то  - несверхразрешимая подгруппа четного в  индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы  обозначается через .

3.  и  не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева или типа .

Если  не 2-нильпотентна, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , см. , с. 192. Так как  несверхразрешима, то индекс  в группе  нечетен, и  - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что  элементарная абелева или типа .

4.  - разрешимая группа и , то 2-длина группы  не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5.  - разрешимая группа и . Если  и силовская 2-подгруппа  из  неабелева, то центр  совпадает с центром .

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть  не 2-группа. По лемме 4 подгруппа  нормальна в . Через  обозначим -холловскую подгруппу из . Так как  имеет четный индекс, то  сверхразрешима и . Теперь  содержится в центре , а поскольку , то  - 2-группа. Группа  не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку  не 2-нильпотентна, то индекс  нечетен и  - силовская 2-подгруппа из . Следовательно,  содержится в  и по лемме 2.2 получаем, что  содержится в . Лемма доказана.

6.  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Пусть  - разрешимая группа,  и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа  нормальна в  и является элементарной абелевой подгруппой. Так как  - не 2-группа, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа  несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и  силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что  - минимальная нормальная в  подгруппа порядка , и  - показатель 2 по модулю , где  делит . Поэтому  - минимальная нормальная в  подгруппа.

Централизатор  содержит  и нормален в , поэтому  и . Значит  самоцентрализуема.

Пусть  - -холловская подгруппа в . Тогда  - максимальная в  подгруппа и  совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент  в  такой, что  не содержится в . Так как  и  содержится в , то  и . Пусть . Тогда , а по теореме Машке в  существует подгруппа  такая, что  и  допустима относительно , т.е. . Но индекс подгруппы  четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и . Теперь  централизует всю силовскую подгруппу , противоречие.

Следовательно,  содержится в  для всех неединичных элементов  из  и  - группа Фробениуса с ядром , см. , с.630.

Пусть  - произвольный нечетный делитель порядка группы , и пусть  - -холловская подгруппа из . Так как  самоцентрализуема, то  не 2-нильпотентна и в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку  не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и  - элементарная абелева подгруппа порядка . Из свойств групп Шмидта следует, что  - показатель 2 по модулю . Необходимость доказана.

Обратно, пусть  - группа Фробениуса, ядро которой  - минимальная нормальная в  подгруппа порядка  где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка . Пусть  - произвольная подгруппа из . Тогда либо , либо , либо , либо  - группа Фробениуса с ядром . Если , то индекс  нечетен. Если  или , то  2-нильпотентна. Пусть  - группа Фробениуса и  не содержится в . Поскольку  не 2-нильпотентна, то в  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная в  силовская подгруппа порядка , а  - циклическая -подгруппа. Так как  - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что  - показатель 2 по модулю , значит  и , т.е. . Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда каждая подгруппа из  четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть  - элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов  существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа  порядка  см. , с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе  существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7.  и  - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в  типа  то  по теореме из . Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу , где  и . Если , то  - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В  силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам  и .

Рассмотрим . Если  не простое, то  содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит,  - простое. Несверхразрешимыми в  являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через  обозначим разрешимый радикал группы .

8.  и , то .

Пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа. Тогда . Если , то индекс  в  четен и  должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому  - простая подгруппа и  изоморфна  или . Теперь  нечетен,  и  - подгруппа из .

Если , то , поэтому .

Пусть ,  - простое. Так как  - циклическая группа порядка , то  либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть  и  - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм  группы  централизует , см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе  группы  есть подгруппа  индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в  и  не принадлежит .

9.  для .

Пусть  - подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть  - центральная инволюция в . Если , то  - подгруппа в  четного индекса. Так как , то  сверхразрешима, поэтому и  сверхразрешима.

Пусть  не принадлежит . Тогда . Допустим, что  несверхразрешима. Так как  - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что  изоморфна  или . Но теперь силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале  - разрешимая группа,  и . Если  - не 2-группа, то легко проверить, что  и по лемме 6 группа  из пункта 2 теоремы.

Пусть  неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если  разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа  имеет четный индекс в группе . Так как  сверхразрешима и , то  - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть  - централизатор подгруппы  в группе .

Для каждого нечетного простого  подгруппа  имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому  для всех нечетных  и индекс  в группе  четен или равен 1. Если , то в  есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит,  и  содержится в центре .

Если , то  - квазипростая группа и  не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа  изоморфна  или . Теперь по теореме из , с.646 группа  изоморфна  или .

Пусть  - собственная в  подгруппа. Тогда  имеет нечетный индекс и . Так как  - собственная в  подгруппа, то из леммы 8 получаем, что  изоморфна , a  изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если , то

и  делит . Если , то

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь  - наибольшая нормальная в  -подгруппа;  - подгруппа Фиттинга группы ;  - циклическая группа порядка .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

Если  - собственная подгруппа в группе , то  удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа  -нильпотентна. Теперь группа  либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. , с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как  - главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в , с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.