Разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть  - разрешимая группа порядка , где  - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из  сверхразрешима. Предположим, что  -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа  нормальна в . Если  сверхразрешима, то  дисперсивна. Если  несверхразрешима, то все собственные подгруппы из  имеют в группе  непримарные индексы. Поэтому  - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь  дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа  содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где  - холловская -подгруппа. Так как  дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа  не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из  не нормальна в . Предположим, что . Так как  не -нильпотентна, то в  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где  - некоторая -группа, и  или . Из минимальности  по лемме 3 получаем, что  несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где  - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу  можно выбрать так, что  - холловская -подгруппа в группе . Если  нормальна в , то  - нормальная в  холловская подгруппа. Так как  либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то  - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.

Следовательно,  не нормальна в  и подгруппа  не -нильпотентна. Так как  дисперсивна, то  нормальна в . По лемме 2 в группе  имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но  циклическая, поэтому  - простое число и по лемме 3 подгруппа  сверхразрешима и  есть -группа. Значит, , где  - силовская -подгруппа в , a  - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу . Она дисперсивна. Если  нормальна в , то  дисперсивна. Противоречие. Значит,  нормальна в .

Итак, в группе  холловские подгруппы имеют строение:  сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ;  с силовской -подгруппой шмидтовского типа;  - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе  имеется нормальная подгруппа  простого индекса. Пусть . Если  бипримарна или примарна, то  дисперсивна. Пусть  трипримарна. По индукции  дисперсивна, а так как в  нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если  и , то  нильпотентна как подгруппа группы Шмидта  и  нормальна в . Если  и , то

также нильпотентна, и  нормальна в .

Итак, при  в  имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть . Если , то

нильпотентна и  нормальна в . Пусть . Тогда

Теперь  нормальна, в . Если , то  и  нормальна в . Если , то  - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому  нильпотентна, и

т.е.  нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай . Так как  нормальна в , и  циклическая, то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  - абелева группа порядка, делящего . и в случае  в группе  имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе  применима индукция, по которой  дисперсивна. Так как  - подгруппа из центра , то и вся группа  дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8.  - подгруппа примарного индекса  конечной группы , то .

Пусть  - силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем

и  - -группа.

9.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда  либо -группа, либо группа Шмидта , где  - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть  не является силовской в  подгруппой и  - силовская в  -подгруппа. Тогда  - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в  подгруппы . По условию  сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е.  и  абелева. Итак, в силовской -подгруппе из  все собственные подгруппы абелевы.

Так как  не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа  в  циклическая, а так как , то  нормальна в . Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа  максимальна в .

Если  - абелева, то  - элементарная абелева группа порядка  и  - показатель числа  по модулю .

Пусть  - неабелева группа. Так как  сопряжена , то все собственные в  подгруппы абелевы, т.е.  - группа Миллера-Морено. Если  - неабелева группа, порядка  и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что  делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно,  - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа  - q-замкнута по лемме 3.2 , поэтому в  каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из следует, что  имеет простой порядок, а так как  не входит в , то

есть группа Шмидта.

10.  - группа порядка , где  и  - простые числа,  и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа  либо -группа, либо изоморфна  и  делит .

Так как , то группа  не -нильпотентна, поэтому в ней существует -замкнутая подгруппа Шмидта . По лемме 3 подгруппа  несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если , то  - силовская -подгруппа группы , и  нормальна в  по лемме 3.2 . Поэтому  и  - -группа.

Пусть . Тогда  - циклическая силовская -подгруппа группы . Будем считать, что  не -замкнута, т.е.  не является силовской в  подгруппой. Для максимальной в  подгруппы  индекс подгруппы , бипримарен, поэтому  сверхразрешима. Так как , то  нормальна в  и

Таким образом,  и  группа порядка, .

Теперь факторгруппа  обладает нормальной силовской -подгруппой  порядка . Итак, , где  - силовская -подгруппа в . Так как  нормальна в , а в  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  и  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы  порядка . Поэтому  - циклическая группа порядка  и  делит .

теоремы C. Пусть  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа  бипримарна. Пусть , где  и  - простые числа и . Если  - примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что  - дисперсивная группа порядка .

Пусть  - бипримарная группа. Так как группа  не -нильпотентна, то в  существует -замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку , то подгруппа  несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в  примарный индекс. Если , то  - циклическая силовская -подгруппа группы , и группа  имеет единичную -длину. Поэтому  -замкнута, а значит -замкнута и . Для максимальной подгруппы  из  подгруппа  имеет в  непримарный индекс, поэтому  сверхразрешима, а поскольку , то  нормальна в

Из -замкнутости  следует, что  нормальна в , поскольку  - циклическая подгруппа, то  нормальна в . Так как  не нормальна в , то , и  имеет порядок .

Пусть теперь . Тогда  - силовская -подгруппа группы , и группа  имеет единичную -длину по лемме 3.2 . Поэтому  -замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа  из  содержится в . Так как , то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что  недисперсивна. Теперь  - -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть . Так как в  имеется группа Шмидта , то  ненильпотентна, и  не является силовской в . Значит, подгруппа  имеет в  непримарный индекс, и по условию теоремы  сверхразрешима. Так как  нормальна в , то  нормальна в , поэтому  содержится в . Следовательно,  и в . Теперь из следует, что силовская -подгруппа в  имеет простой порядок.

Итак, в любом случае  - дисперсивная группа порядка . Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть  - некоторый класс конечных групп. Через  обозначается совокупность минимальных не -групп, а через  - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит . Ясно, что  наследственный класс и . В настоящей заметке доказывается следующая

D. класс  замкнут относительно прямых произведений и  разрешим. Если в конечной неразрешимой группе  нет неединичных нормальных -подгрупп, то  изоморфна одной из следующих групп:  и  - простое число или 9;  или  и .

Формации  и  нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс  разрешим , а для класса  теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа  принадлежит , то , где , а  и .

Если , то в качестве подгруппы  можно выбрать всю группу , а подгруппа  будет единичной. Пусть  и пусть  - собственная в  подгруппа, которая является минимальной не -группой. По условию ,  - простое число. Теперь для силовской -подгруппы  из  получаем, что . Из неразрешимости  следует, что  непримарна и .

2. класс  замкнут относительно прямых произведений, и  - неразрешимая группа, принадлежащая . Если  - минимальная нормальная в  подгруппа, то либо , либо  - простая неабелева группа,  и , где .

Пусть минимальная нормальная в  подгруппа  не принадлежит . Так как , то индекс ,  - простое число. Теперь  неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп:  Поскольку  замкнут относительно прямых произведений, то  не принадлежит  и индекс  в группе  должен быть примарным. Поэтому  - простая неабелева группа.

Централизатор  нормален в  и . Поэтому , а так как индекс  непримарен, то .

3. класс  разрешим и  - простая неабелева группа из , то:

1) , ,  и  или  - простое число;

2) ,  и  - простое число;

3) , , ;

4) ,  или ,  или  соответственно.

Здесь  и  - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. , ,  - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка ,  - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа , где , а . Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы  из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа. По лемме 2 подгруппа  простая,  и

Так как  не принадлежит , то существует подгруппа , . Теперь , где ,  и . Так как  разрешима, то по лемме 3 подгруппа  изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть  и  простое число или 9. Предположим, что  - собственная в  подгруппа. Так как  - циклическая группа порядка , то  делит . Кроме того, индекс  в  должен быть примарным, а поскольку

,

то при  простое число  должно делить , что невозможно. Для  числа  и  взаимно просты. При  группа  удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если , то либо , либо , a .

Пусть  и  - простое число, где . Так как , то индекс  в  равен  и  или .

Пусть , где . Поскольку , то подгруппа  имеет в  непримарный индекс. Поэтому в этом случае .

Поскольку случай  рассмотрен при , где , то теорема доказана полностью.

Заключение

В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.

Список литературы

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. - 1973. - Т.14, N 2. - С.217-222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. - 1975. - С.70-100.

5. Старостин А.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5. - С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg- New York: Springer, 1967. - 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир,-1985. - 352 С.

8. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. - Киев, 1975. - С.173-196.

9. Сидоров А.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. - Минск. - 19S7. - Вып.3. - С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. - Berlin: Springer, 19 (37. - 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. - С.70-100.

13. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. - С. 197-217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. - С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. - Vol.81. - P.304-311.