Группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе  все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и  - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому  -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в  дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть  - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как  бипримарна, а индекс  в группе  по условию леммы примарен, то группа  либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

Пусть  - рассматриваемая группа. Так как  сверхразрешима и , то в  имеется нормальная подгруппа  порядка . Теперь  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку  не делит , то силовская -подгруппа  из  содержится в . Теперь  лежит в центре . Факторгруппа  нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть  - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе  существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа  - циклическая. Поскольку  не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где  - простое число. Теперь  для силовской -подгруппы из  и  является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 подгруппа  содержит нормальную в группе  подгруппу  такую, что факторгруппа  изоморфна

В факторгруппе  по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В  и  имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе  степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В  внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в  имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно:  (см. , с.73). Поэтому  - 5-группа,  изоморфна  и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна

Где

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь . Подгруппа  характеристична в , a  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 20 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  или  по , c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции

Так как

то . По свойству коммутантов . Следовательно,

Случай  рассмотрен полностью.

Пусть  изоморфна . Группа  допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому  - 5-группа,  изоморфна , и  имеет порядок 5.

Предположим вначале, что  - неабелева группа, и пусть  - центр . По индукции фактор-группа  изоморфна

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа  характеристична в , а подгруппа  нормальна в , поэтому  нормальна в . Кроме того,

Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как  имеет индекс 40 в группе , то  - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому  и  нормальная в  подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит,  и  лежит в центре . Теперь

и для инволюции  подгруппа  нормальна в . Следовательно,

и факторгруппа  проста.

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции , где  изоморфна  или , а

Так как

то . По свойству коммутантов , значит,

Так как , то подгруппа  изоморфна  и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай . Группа  допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому  - 3-группа,  изоморфна  и  - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что  - неабелева группа. Через  обозначим центр . По индукции факторгруппа  изоморфна , где

Поскольку  - собственная в  подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа  характеристична, в  а подгруппа  нормальна в . Поэтому  нормальна в . Из простоты  следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь  - абелева группа. Так как подгруппа  имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где  - подгруппа порядка 7, а  - 3-группа. Отсюда следует, что  нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е.  лежит в центре .

Если , то группа  квазипроста, и  по , с.646. В этом случае .

Значит, коммутант  - собственная в  подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов . Следовательно,

где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.