Пусть

59.2. Пусть

, (59.5)

- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:

, (59.6)

где  - коэффициент корреляции случайных величин  и . Из (59.6) следует равенство

(59.7)

которое можно рассматривать как закон сохранения: величина  - постоянная для любых случайных величин  и . Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции  как величины, дополняющей расстояние  до единицы.

Функция распределения вероятностей случайного вектора

Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность  случайных величин , которая называется многомерной (- мерной) случайной величиной  или  -мерным случайным вектором . Полное вероятностное описание  - мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей  (или плотностью вероятности , или характеристической функцией ). Функция  аргументов

(60.1)

называется функцией распределения вероятностей случайного вектора . Здесь случайное событие

(60.2)

- представляет пересечение  событий вида . В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения  принято заменять запятой.

Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.

1. Пусть  - независимые случайные величины, тогда события , , - независимы и формула (60.1) принимает вид

, (60.3)

где  - функция распределения вероятностей случайной величины . Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения  представима произведением одномерных функций .

Для любого

. (60.4)

Доказательство следует из определения (60.1). Событие  является невозможным, поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).

Для любого

. (60.5)

Это равенство также следует из определения. Событие  - достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).

Если  для всех , то

, (60.6)

как вероятность достоверного события.

5. Функция распределения  - непрерывна справа по каждому своему аргументу.

Плотность вероятности случайного вектора

Пусть случайный вектор  имеет функцию распределения вероятностей  и существует частная производная

, (61.1)

тогда функция  называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора  или  - мерной плотностью вероятности. При этом функция  и сам вектор  называются непрерывными.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности случайного вектора.

1. Пусть  - независимые случайные величины, тогда функция распределения вероятностей вектора  представима в виде произведения одномерных функций, формула (60.3). Подставляя (60.3) в (61.1), получим

, (61.2)

где

(61.3)

- плотность вероятности случайной величины .

2. Пусть  - малое приращение аргумента  . Тогда из (61.1) следует

, (61.4)

где  - разность порядка  функции , определяемая соотношением:

 ,

 ,…

Из определения функции , формула (60.1), следует

 , (61.5)

затем из (61.4), (61.5) получаем вероятность попадания случайного вектора  в  -мерный параллелепипед со сторонами  :

 . (61.6)

Из (61.6) следует

. (61.7)