Аналогично из (61.6)

4. Аналогично из (61.6)

. (61.8)

5. Условие нормировки для плотности вероятности  также следует из соотношения (61.6):

. (61.9)

6. Пусть  - область  - мерного пространства, тогда  - вероятность того, что  - мерный случайный вектор принимает значение из области , определяется через плотность :

. (61.10)

Доказательство этого соотношения следует из (61.6) с учетом того, что любая область  может быть покрыта  - мерными параллелепипедами при условии, что  - наибольшая сторона параллелепипеда стремится к нулю.

7. Для любого  

. (61.11)

Это равенство называется свойством согласованности плотности: из плотности вероятности порядка  путем интегрирования по «лишнему» аргументу  может быть получена плотность вероятности порядка . Для доказательства представим обе части равенства (60.5) через плотности, используя (61.8), тогда (60.5) принимает вид:

. (61.12)

Продифференцируем обе части этого равенства по аргументам , что приводит к выражению (61.11).

Многомерное нормальное распределение

Случайный вектор  называется нормально распределенным, если его плотность вероятности

, (62.1)

где ;  - ковариационная матрица вектора , элемент которой  является ковариацией случайных величин ;  - определитель матрицы ;  - матрица, обратная ковариационной.

Рассмотрим плотность вероятности  в частном случае попарно некоррелированных случайных величин , для которых выполняется условие

, (62.2)

где  - символ Кронекера. Таким образом, ковариационная матрица  является диагональной, поскольку ее элементы (62.2) на главной диагонали – ненулевые, а вне главной диагонали - нулевые. Следовательно, определитель

. (62.3)

Элемент  матрицы , обратной ковариационной можно найти по известной формуле:

, (62.4)

где  - алгебраическое дополнение элемента  матрицы . Из (62.3) следует

, (62.5)

а также  при . Подстановка этих результатов в (62.4) приводит к выражению

. (62.6)

Подставим (62.3), (62.6) в (62.1), тогда

, (62.7)

где  - плотность вероятности случайной величины . Таким образом, для гауссова случайного вектора  из условия попарной некоррелированности его компонент , , следует условие (62.7) - независимости компонент случайного вектора.

Характеристическая функция случайного вектора

63.1 Функция  переменных

(63.1)

называется характеристической функцией случайного вектора .

Если случайный вектор  является непрерывным, то его характеристическая функция (63.1) определяется через его плотность :

. (63.2)

Это соотношение является  - мерным преобразованием Фурье от функции . Поэтому плотность  можно выразить через характеристическую функцию  в виде обратного преобразования Фурье по отношению к (63.2):

. (63.3)