Несложно доказать следующие свойства характеристической функции

63.2 Несложно доказать следующие свойства характеристической функции.

1. .

2. .

3. Для независимых случайных величин  их совместная характеристическая функция , где - характеристическая функция случайной величины .

 4. Для любого целого , , справедливо соотношение:

.

63.3. Для нормально распределенного случайного вектора  его характеристическая функция находится подстановкой плотности вероятности  (62.1) в (63.2.) и последующем вычислении  - мерного интеграла (63.2). Это приводит к следующему выражению:

, (63.3)

где  - ковариация случайных величин  и .

Функции от случайных величин

Пусть  - случайные величины, имеющие совместную плотность  и совместную функцию распределения вероятностей . Пусть также заданы  функций ,  переменных . Вместо аргументов  функции  подставим случайные величины , тогда

(64.1)

- новые случайные величины. Задача состоит в том, чтобы по известным функциям , , , , найти функцию  и плотность  распределения вероятностей случайного вектора . Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей.

Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей . Действительно, по определению:

(64.2)

Представим случайные величины  через , используя соотношения (64.1), тогда

(64.3)

Здесь вероятность можно представить в виде интеграла по области  от плотности :

(64.4)

где областьсодержит все -мерные вектора , удовлетворяющие условию:

(64.5)

Плотность  вектора  можно определить из (64.4) по формуле:

(64.6)

Соотношения (64.4), (64.6) определяют всего лишь метод решения задачи, но не само решение. Задача в конкретной постановке может быть как относительно простой, так и очень сложной, в зависимости от чисел , , плотности  и вида функций , определяющих область . Ниже рассмотрим примеры решения этой задачи для преобразования одной, двух и нескольких случайных величин.

Распределение вероятностей функции одной случайной величины

65.1. Пусть случайная величина  имеет плотность вероятности  и функция одной переменной , , является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности  случайной величины  определяется соотношением:

 , (65.1)

где  - функция, обратная функции .

Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Поскольку функция  - взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая  или монотонно убывающая . Очевидны соотношения:

 , (65.2)

. (65.3)

Пусть ,  - функции распределения вероятностей случайных величин  и . Если , тогда используя (65.2),

. (65.4)

Продифференцируем по  равенство (65.4), тогда

. (65.5)

Аналогично при  справедливо равенство (65.3), поэтому

(65.6)

Отсюда:

. (65.7)

Теперь из соотношений (65.5) и (65.7) следует (65.1).

Существенным условием при выводе формулы (65.1) является свойство взаимной однозначности функции . Примерами таких функций являются: 1). Линейная функция , где ,  - числа, при этом обратная функция имеет вид ; 2). Экспонента - , откуда обратная функция , , и другие. Однако условие взаимной однозначности функции  может нарушаться, например, для функции  обратная функция ,  - двузначная. При этом рассматриваются две функции  и , , которые называются первая и вторая ветви обратного преобразования . Более сложный пример: . Здесь обратная функция – многозначная.

65.2. Рассмотрим модификацию формулы (65.1) на случай многозначного обратного преобразования . Для этого на области определения функции  выделим неперекрывающиеся интервалы ,  - целое, на которых , тогда на интервалах вида  выполняется условие . Функция , для , монотонная возрастающая, а для  - монотонная убывающая. Поэтому для каждого из указанных интервалов существует однозначная обратная функция по отношению к функции . Пусть функция  для  имеет обратную функцию вида , , очевидно  - монотонная возрастающая, поскольку обратная ей  - монотонная возрастающая. Аналогично обозначим через  - функцию со значениями , обратную к  на интервале . Очевидно  - монотонная убывающая. Функция  называется -я ветвь обратного преобразования функции . Теперь по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:

(65.8)

где суммирование ведется по всем ветвям обратного преобразования.

На рис. 65.1. представлен простой пример функции , у которой ветви обратного преобразования:  со значениями , и  - со значениями . На интервале  функция  - монотонно возрастающая, а на интервале  функция  - монотонная убывающая. Равенство (65.8) в этом случае принимает вид:

.

Рис. 65.1. Пример преобразования случайной величины.

Представим вероятности в (65.8) через плотности вероятностей, тогда:

 . (65.9)

Дифференцируя по  обе части (65.9), получим

(65.10)

или

 , (65.11)

где суммирование по  ведется по всем ветвям обратного преобразования.

65.3. Рассмотрим примеры вычисления плотности вероятности случайной величины  по формуле (65.11). Пусть  - линейное преобразование случайной величины . Функция  - взаимно однозначная, поэтому обратное преобразование имеет одну ветвь и сумма в (65.11) содержит одно слагаемое. Поскольку , то (65.11) принимает вид:

 . (65.12)

Рассмотрим квадратичное преобразование . Обратное преобразование имеет две ветви  и . Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя,  для , получаем:

(65.13)

Пусть  и случайная величина  имеет равномерное распределение вероятностей на интервале , с плотностью , если , и  при . Обратное преобразование имеет две ветви: , а также  . Вычисление производных  и подстановка в (65.11) приводит к результату:

. (65.14)

На рис. 65.2. представлен график плотности  косинус-преобразования

равномерно распределенной случайной величины. Таким образом, исходная

Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.

исходная величина  и преобразованная величина  могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.

Преобразование нескольких случайных величин

66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности  преобразованной величины  через плотность  исходной случайной величины , можно обобщить на случай преобразования  случайных величин. Пусть случайные величины  имеют совместную плотность , и заданы  функций ,  переменных . Необходимо найти совместную плотность вероятности  случайных величин:

(66.1)

Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием  - число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений , , относительно переменных . При этом каждое  зависит от . Совокупность таких функций , , образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть , , - - я ветвь обратного преобразования , тогда справедливо соотношение:

 , (66.2)

где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,

(66.3)

- якобиан преобразования от случайных величин  к случайным величинам .

Если из каждой совокупности  случайных величин получается  случайных величин , то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему  до  случайных величин, например, такими величинами . Если же , то  случайных величин из совокупности  функционально связаны с остальными  величинами, поэтому - мерная плотность  будет содержать  дельта-функций.

Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности  совокупности случайных величин , полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин  с совместной плотностью вероятности . Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении -мерного интеграла по сложной области . Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.

66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин  и  с плотностью  по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: , а в качестве второй  (хотя можно взять и ). Таким образом, функциональное преобразование от ,  к ,  задается системой уравнений:

(66.4)

Обратное преобразование – это решение системы уравнений относительно , :

(66.5)

Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:

 .

Теперь (66.2) для  принимает вид:

 . (66.6)

Функция  - это совместная плотность вероятности случайных величин  и . Отсюда плотность вероятности  суммы  находится из условия согласованности:

. (66.7)

Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:

. 66.8)

Задача сводится к преобразованию интеграла по области , определяемой условием . Этот интеграл можно представить в виде:

(66.9)

Отсюда плотность вероятности:

Отсюда плотность вероятности:

 , (66.10)

что совпадает с формулой (66.7).

Хи - квадрат распределение вероятностей

67.1. Хи - квадрат распределением с  степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины , где  - независимые случайные величины и все  - гауссовы с математическим ожиданием  и дисперсией . В соответствии с формулой (64.3) функция распределения вероятностей случайной величины  равна

, (67.1)

где  - совместная плотность вероятности величин . По условию  - независимые, поэтому  равна произведению одномерных плотностей:

. (67.2)

Из (67.1), (67.2) следует, что плотность вероятности  случайной величины  определяется выражением:

 . (67.3)

Анализ этого выражения, видимо, представляет собой наиболее простой способ нахождения , поскольку здесь  и (67.3) можно представить в виде:

. (67.4)

Здесь интеграл равен объему  области  - мерного пространства, заключенной между двумя гиперсферами:  - радиуса  и  - радиуса . Поскольку объем  гиперсферы радиуса  пропорционален , т.е. , то

(67.5)

- объем между двумя гиперсферами с радиусами  и , что и определяет с точностью до множителя интеграл (67.4). Подставим (67.5) в (67.4), тогда

, (67.6)

где  - постоянная, которая может быть определена из условия нормировки:

. (67.7)

Подставим (67.6) в (67.7), тогда

. (67.8)

Пусть , , тогда интеграл (67.8)

, (67.9)

, (67.10)

где  - гамма - функция аргумента . Из (67.8) и (67.9) определяется постоянная , подстановка которой в (67.6) приводит к результату

(67.11)

67.2. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Из (67.11)

. (67.12)

Аналогично среднее квадрата величины  равно

. (67.13)

Из (67.12), (67.13) дисперсия

. (67.14)

67.3. В задачах математической статистики важное значение имеют распределения вероятностей, связанные с нормальным распределением. Это прежде всего  - распределение (распределение Пирсона),  - распределение (распределение Стьюдента) и  - распределение (распределение Фишера). Распределение  - это распределение вероятностей случайной величины

, (67.15)

где  - независимы и все .

Распределением Стьюдента (или  - распределением) называется распределение вероятностей случайной величины

, (67.16)

где  и  - независимые случайные величины,  и .

Распределением Фишера (- распределением) с ,  степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины

. (67.17)

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям

Распределение Максвелла по скоростям молекул газа представляет собой плотность распределения вероятностей модуля скорости  и определяется соотношением

, (68.1)

где - число молекул газа,  число молекул, модуль скорости которых лежит в интервале ,  - газовая постоянная,  - абсолютная температура газа. Отношение  - это вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит в интервале , тогда  - плотность вероятности модуля скорости.

Распределение (68.1) может быть получено на основе следующих двух простых вероятностных положений, задающих модель идеального газа. 1). Проекции  скорости на оси  декартовой системы координат являются независимыми случайными величинами. 2). Каждая проекция скорости  - гауссова случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Параметр  задается на основе экспериментальных данных.

Определим плотность вероятности случайной величины

. (68.2)

Очевидно,  имеет хи - квадрат распределение с тремя степенями свободы. Поэтому ее плотность вероятности  определяется формулой (67.11) при :

, , (68.3)

поскольку . Итак,  (68.3) - это плотность вероятности квадрата относительной скорости .

Следующий шаг состоит в переходе от распределения квадрата скорости  к распределению ее модуля , . Функциональное преобразование имеет вид: , а обратное , для , . Таким образом, обратное преобразование однозначное. Поэтому по (65.1) плотность распределения модуля  имеет вид

. (68.4)

Последний шаг состоит в переходе от случайной величины  к новой случайной величине

. (68.5)

Обратное преобразование  - однозначное, поэтому плотность вероятности  случайной величины , согласно (65.1) принимает вид

, , (68.6)

что и совпадает с формулой (68.1).

Соотношение (68.5), определяющее связь относительной и абсолютной скоростей  и , следует из третьего положения модели идеального газа, которое является чисто физическим условием, в отличие от первых двух вероятностных условий. Третье условие может быть сформулировано как утверждение относительно значения  средней кинетической энергии одной молекулы в виде равенства

, (68.7)

где  - постоянная Больцмана и представляет, по сути, экспериментальный факт. Пусть , где  - постоянная, которая далее определяется условием (68.7). Для нахождения  определим из (68.4) среднее квадрата относительной скорости:

. (68.8)

Тогда средняя кинетическая энергия молекулы , где  - масса молекулы, и с учетом (68.7) , или .

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.

2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.

7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.