Исследования Галилео Галилея

2. Исследования Галилео Галилея

Таким образом, уже в 16 веке возникли задачи вероятностного характера и разыскивались подходы к их решению. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и позволяли решать отдельные задачи. Значимый вклад в этот прогресс внес Галилео Галилей (1564–1642). Его работа «О выходе очков при игре в кости» была посвящена подсчету возможных случаев при бросании трех костей. Число всех возможных случаев Галилей подсчитал простым и естественным путем, возвел 6 (число различных возможностей при бросании одной кости) в 3 степень и получил 216. Далее он подсчитал число различных способов, которыми может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костях очков. При подсчете Галилей пользовался полезной идеей: кости нумеровались (первая, вторая, третья) и возможные исходы записывались в виде троек чисел, причем на соответствующем месте стояло число очков, выпавшее на кости с данным номером. Эта простая мысль для своего времени оказалась весьма полезной.

Галилей, в сущности, повторил результаты, полученные значительно раньше рядом предшественников. Однако эта, теперь простая задача, в ту пору была серьезным испытанием и для мыслителя столь высокого ранга как Галилей.

Заметим, что у Галилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся не над вероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые им благоприятствуют.

Для теории вероятностей и математической статистики большое значение имеют соображения Галилея по поводу теории ошибок наблюдений. До него никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал ан эту тему ново для его времени и важно даже в наши дни. Свои мысли и выводы он достаточно подробно изложил в одном из основных своих произведений: «Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой и коперниковой».

3. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей

Обычно считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых Б. Паскаля (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). От этой переписки сохранились лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. В этой переписке еще отсутствует понятие вероятности, и оба ученых ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и теорем о сложении и умножении вероятностей. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы с придворным французского королевского двора шевалье де Мере, который интересовался литературой, философией и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю.

1)         Сколько раз нужно подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно?

2)         Как нужно разделить ставки между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?

Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение Паскаля подробно излагается в письме:

«Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля.

Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, то каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.

Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проигрывает, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию, и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их все равно получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля».

Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения те же, что были приведены выше.

Ферма предложил следующее решение этой задачи:

Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В трех. Тогда для завершения игры достаточно сыграть максимум четыре партии. Возможные исходы представлены в виде таблицы:

В первых одиннадцати исходах выигрывает А, в последних пяти В. Таким образом, ставка между игроками должна быть разделена в отношении 11/5. Т.е. игрок А получит 11/16, а В получит 5/16 ставки. Очевидно, что Ферма, как и Паскаль, делит ставку пропорционально вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры. Однако, они и сами не замечают, что их исходные позиции одинаковы.

Паскаль одновременно с размышлениями над проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился «Трактат об арифметическом треугольнике», внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате есть параграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку  до выигрыша всей игры не хватает

Партий, а игроку   партий, тогда ставка должна делиться между игроками в следующем отношении:

Похожие работы

Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей

Скачать

66135

2

3

... понятия вероятности задача некоторой несостоятельности классического определения вероятности была решена. Однако наблюдаются попытки дать трактовку вероятности с более широких позиций, в том числе и с позиций теории информации. 2. Динамика развития понятия математического ожидания   2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания Одним из первых приблизился к определению понятия ...

Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Скачать

53712

10

2

... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...

Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

Скачать

98993

10

0

... вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса). Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс. 2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса   2.1 Основные понятия о факультативном курсе Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со ...

Теория вероятностей

Скачать

25559

0

0

... равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о ...