Исследования Галилео Галилея
Работа Х. Гюйгенса
Первые исследования по демографии
Формирование понятия геометрической вероятности
Основные теоремы теории вероятностей
Возникновение предельных теорем теории вероятностей
Контроль качества продукции
Закон больших чисел
Общие предельные распределения для сумм
Навигация
Возникновение предельных теорем теории вероятностей
Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова
66594
знака
1
таблица
0
изображений
10. Возникновение предельных теорем теории вероятностей
На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. В первую очередь следует указать на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в 18-ом веке, так и в последующие столетия.
Я. Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде, использовал для обозначения испытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова «плодовитый», «фертильный», а для противоположных исходов слово «стерильный».
«Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближенно как 
или же это число относится к числу всех случаев как 
или же как 
. Последнее отношение находится, следовательно, между 
и 
. Нужно доказать, что можно произвести столь большое число опытов, что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше, чем , и меньше, чем ». Ясно, что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь.
Книга «Искусство предложений» Я. Бернулли быта тщательно изучена его племянником Н. Бернулли. В его работе «О применении искусства предположений в вопросах прав», исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста. На основании долголетних регистраций рождений он отметил тот факт, что мальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождений девочек оказывается, как он считал, равным 18:17.
Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется 14 000 рождений. Тогда, согласно формулам Н. Бернулли, имеет место равенство (
означает фактическое число рождений мальчиков)
Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяет вычислить вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести, сложны.
В точности этот пример рассмотрен Лапласом в «Аналитической теории вероятностей». В качестве искомого значения вероятности неравенства 
Лаплас указал величину 0.994303.
В двух последних изданиях книги Муавра «Доктрина шансов» был помещен перевод его статьи 1733 г. Согласно словам самого автора «Я помещаю здесь перевод моей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, но никогда не публиковавшейся». В кратком введении Муавр отметил, что для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членов биномиального распределения и что вычисления становятся громоздкими при больших значениях числа испытаний. В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы. Эта задача была им благополучно решена. Основная трудность, которая при этом возникала, состояла в оценке факториала 
при больших значениях 
. Муавр доказал, что 
, где 
, однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику. Стирлинг показал, что 
. Известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел, таким образом, следовало бы назвать формулой Муавра. Использовав найденную им формулу «Стирлинга», Муавр первоначально выяснил, что в случае 
средний член бинома 
асимптотически равен 
, а затем доказал локальную теорему, названную его именем. Далее Муавр получил локальную теорему для случая 
фактически в принятом теперь виде.
Имея в руках локальную теорему, Муавр без затруднений сформулировал и интегральную, правда, только для симметричных границ.
Муавр отметил, что интегральную теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности 
, т.е. для решения обратной задачи, задачи математической статистики.
Похожие работы
... понятия вероятности задача некоторой несостоятельности классического определения вероятности была решена. Однако наблюдаются попытки дать трактовку вероятности с более широких позиций, в том числе и с позиций теории информации. 2. Динамика развития понятия математического ожидания 2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания Одним из первых приблизился к определению понятия ...
... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...
... вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса). Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс. 2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса 2.1 Основные понятия о факультативном курсе Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со ...
... равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о ...
0 комментариев