Исследования Галилео Галилея
Работа Х. Гюйгенса
Первые исследования по демографии
Формирование понятия геометрической вероятности
Основные теоремы теории вероятностей
Возникновение предельных теорем теории вероятностей
Контроль качества продукции
Закон больших чисел
Общие предельные распределения для сумм
Навигация
Закон больших чисел
Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова
66594
знака
1
таблица
0
изображений
14. Закон больших чисел
Знаменитая теорема Я. Бернулли о сближении при увеличении числа наблюдений вероятности события 
с частотой его появления получила первое обобщение лишь в 1837 г. в работе Пуассона «Исследования о вероятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских». Именно в этом мемуаре он ввел сам термин «закон больших чисел». Но его результаты не внесли в теорию вероятностей существенного прогресса, поскольку в идейном плане они не выходили за пределы концепции Я. Бернулли. Существенный сдвиг в этом направлении связан с работой Чебышева «О средних величинах» (1867). В этой работе он перешел от рассмотрения случайных событий к случайным величинам. Теорема Чебышева теперь излагается во всех учебниках теории вероятностей. Она неоднократно позднее служила источником обобщений.
В 1909 г. Э. Борель для 
показал, что в случае схемы Бернулли имеет место более сильное предложение, чем закон больших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г. это предложение на произвольное 
распространил итальянский математик Кантелли, что 
.
Это предложение получило наименование усиленного закона больших чисел. Широкое обобщение усиленного закона больших чисел было дано Колмогоровым в работе 1930 г., а также в 1934 г. в его монографии «Основные понятия теории вероятностей».
В 1935 г. Хинчин ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, которое должно было дать максимально общую форму закона больших чисел для положительных случайных величин. Пусть 
последовательность неотрицательных случайных величин. Про суммы 
говорят, что они относительно устойчивы, если можно найти такие положительные константы 
, что при 
выполнено соотношение 
.
В случае одинаково распределенных величин 
Хинчину удалось найти необходимое и достаточное условие для относительной устойчивости сумм 
. Ученик Хинчина А.А. Бобров распространил этот результат на случай разнораспределенных слагаемых.
Существенное расширение проблематики, связанной с законом больших чисел, было осуществлено В.И. Гливенко в работах, относящихся к 1929–1933 гг., когда он начал рассматривать предельные теоремы для случайных величин со значениями в функциональных пространствах. Вершиной его результатов является замечательная теорема о сходимости эмпирических распределений к истинной функции распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема Гливенко, сразу же после ее опубликования, была названа Кантелли основной теоремой математической статистики.
15. Центральная предельная теорема
Теорема Муавра о сходимости распределений центрированного и нормированного числа появлений события в 
независимых испытаниях, в каждом из которых событие может наступить с одной и той же вероятностью , к нормальному распределению долгое время служила образцом для последующих обобщений. Первое обобщение принадлежит Лапласу и уже формулируется как предельная теорема для сумм независимых случайных величин 
, каждая из которых равномерно распределена на отрезке 
. Лаплас рассматривал дискретные случайные величины с увеличивающимся числом возможных значений. Этим самым давалась аппроксимация непрерывного распределения дискретным.
Существенное продвижение исследований по предельной теореме связано с именем Пуассона. Он рассмотрел схему последовательности независимых испытаний с разными вероятностями появления события в каждом из испытаний. Пуассон доказал для этого случая локальную теорему. здесь же он дал ошибочное обобщение этой теоремы на суммы произвольных независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, при условии их центрирования суммами математических ожиданий и нормирования квадратным корнем из суммы дисперсий слагаемых.
Интерес к нормальному распределению в начале 19-го века возрос в связи с появлением знаменитых исследований Лежандра и Гаусса по формулировке и обоснованию метода наименьших квадратов.
Второй толчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теории вероятностей, была статистическая физика, начала которой были построены в середине 19-го века. Первый общий результат в этом направлении был сформулирован в 1887 г. Чебышевым. Для доказательства этого предложения Чебышевым был разработан весьма сильный метод, получивший название метода моментов и являющийся одним из крупнейших достижений науки того времени. Однако, в формулировке теоремы и ее доказательстве был допущен ряд промахов, которые сразу же взялся исправлять ученик Чебышева А.А. Марков. Им была строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева. Ляпунов на протяжении 1900–1901 гг. обобщил полученные результаты.
Общность результатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников. Именно в ту пору появился термин «центральная предельная теорема» для обозначения условной сходимости функций распределения нормированных и центрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению.
Многие ученые занимались и добились некоторых результатов при изучении центральной предельной теоремы: Линдеберг (1922), Феллер (1934), Бернштейн (1927), Хинчин и Леви (1935)…
Исследование вопроса сходимости функции распределения к нормальному закону не окончились и в наши дни.
Похожие работы
... понятия вероятности задача некоторой несостоятельности классического определения вероятности была решена. Однако наблюдаются попытки дать трактовку вероятности с более широких позиций, в том числе и с позиций теории информации. 2. Динамика развития понятия математического ожидания 2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания Одним из первых приблизился к определению понятия ...
... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...
... вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса). Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс. 2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса 2.1 Основные понятия о факультативном курсе Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со ...
... равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о ...
0 комментариев