Навигация
Методы решения систем линейных уравнений
13057
знаков
0
таблиц
5
изображений
Методы решения систем линейных уравнений
1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Задачи аппроксимации функции, а также множество других задач прикладной математики м вычислительной физики сводятся к задачам о решении систем линейных уравнений. Самым универсальным методом решения системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса.
Для иллюстрации смысла метода Гаусса рассмотрим систему линейных уравнений:
(1)
Эту систему запишем в матричном виде:
(2)
Как известно, обе части уравнения можно умножить на ненулевое число, а также можно из одного уравнения вычесть другое. Используя эти свойства, постараемся привести матрицу системы (2) к треугольному виду, т.е. к виду, когда ниже главной диагонали все элементы – нули. Этот этап решения называется прямым ходом.
На первом шаге прямого хода умножим первое уравнение на 
и вычтем из второго, тогда исключится переменная 
из второго уравнения. Затем, умножим первое уравнение на 
и вычтем из третьего, тогда система (2) преобразуется в систему вида:
(3)
На втором шаге прямого хода из третьего уравнения исключаем 
, т.е. из третьего уравнения вычитаем второе, умноженное, на 
, что приводит систему (3) к треугольному виду (4)
(4)
Систему (4) переписываем в привычном виде:
(5)
Теперь, из системы (5) можем находить решение в обратном порядке, т.е. сначала находим из третьего уравнения 
, далее, подставляя во второе уравнение, находим 
. Подставляя и 
в первое уравнение системы (5), находим 
. Нахождение решения 
из системы (5) называют обратным ходом.
Теперь, на основе рассмотренного примера, составим общий алгоритм метода Гаусса для системы:
(6)
Метод Гаусса состоит из двух этапов:
а) прямой ход – когда матрица системы (6) приводится к треугольному виду;
б) обратный ход – когда последовательно вычисляются неизвестные в обратном порядке, т.е. в последовательности: 
.
а) Прямой ход: для приведения системы (6) к треугольному виду, уравнения с ненулевыми коэффициентами при переменной переставляются таким образом, чтобы они были выше, чем уравнения с нулевыми коэффициентами 
. Далее, вычитаем первое уравнение, помноженное на 
, из второго уравнения, вычитаем первое уравнение, помноженное на 
, из третьего уравнения и т.д. В общем, вычитаем первое уравнение, помноженное на 
, из 
- го уравнения при 
, если 
. Вследствие этой процедуры, мы обнулили все коэффициенты при переменной в каждом из уравнений, начиная со второго, т.е. система (6) принимает вид:
(7)
Далее, применяем туже самую процедуру, для уравнений системы (7), начиная со второго уравнения, т.е. первое уравнение исключается из «игры». Теперь стараемся обнулить коэффициенты при переменной , начиная с третьего уравнения и т.д., пока не приведём систему к треугольному виду. Если 
, то система всегда приводима (теоретически) к треугольному виду. Общий алгоритм прямого хода можно представить в виде:
(8)
б) Обратный ход: Вычисляем неизвестные по формулам:
(9)
Замечание: для вычисления определителя системы можно использовать треугольную форму полученной матрицы, тогда определитель этой матрицы равен произведению диагональных элементов, т.е.
(10)
Похожие работы
... . При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений. К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над ...
... , с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, ...
... , придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д. Если работа в поисках более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки будет успешна, то практическая значимость будет очевидна. Список использованной литературы 1. Алгебра 8 класс. Н.Я. Виленкин. Москва, ...
... 10.4 9.7 9.7 -8.4 Результат вычислений по методу Гаусса x1 = 5.0000000000E+00 x2 = -4.0000000000E+00 x3 = 3.0000000000E+00 x4 = -2.0000000000E+00 2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя 2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 , a21x2 + ...
0 комментариев